LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 11

Udowodnij, że 3n + 3n+1 + 3n+2 jest liczb± podzieln± przez 117 dla każdej liczby naturalnej n ł 2.

Rozwi±zanie

Rozłóżmy liczbę 117 na czynniki pierwsze:

117 = 3 × 3 × 13 = 32 × 13

Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n ł 2 mamy:

3n + 3n+1 + 3n+2 = 3n × (1 + 3 + 32) = 3n × 13 =  3n-2 × 32 × 13 = 3n-2 × 117

przy czym 3n-2 jest liczb± naturaln± bo n jest liczb± naturaln± i n - 2 ł 0.

Iwona Lis