LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 11

Udowodnij, że 3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² jest liczbą podzielną przez 117 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczbę 117 na czynniki pierwsze:

117 = 3 ⋅ 3 ⋅ 13 = 3² ⋅ 13

Zauważamy, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 mamy:

3ⁿ + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺² = 3ⁿ ⋅ (1 + 3 + 3²) = 3ⁿ ⋅ 13 =  3^n-2 ⋅ 3² ⋅ 13 = 3^n-2 ⋅ 117

Iwona Lis