LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV 
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Czy istnieje liczba naturalna a, że równanie ma 99 rozwiązań w liczbach naturalnych?

Rozwiązanie

Rozwiązując zadanie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(x + A)(y + B) = xy + Bx + Ay + AB

Rozwiązujemy teraz równanie :


Aby równanie miało 99 rozwiązań w liczbach naturalnych liczba a2 musi mieć 99 rozkładów.
Rozpatrzmy nasz przypadek dla a = 249, czyli dla a2 = 298:



Widzimy, że liczba a2 (298) ma 99 rozkłądów, czyli równanie ma 99 rozwiązań w liczbach naturalnych.

Odpowiedź

Tak istnieje taka liczba.

Michał Kęder