Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Czy w ciągu liczb postaci: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się od pewnej naturalnej potęgi liczby 10 o 2?

Znaleźć wszystkie liczby pierwsze $p,$ dla których liczba $3p+1$ jest kwadratem liczby naturalnej?

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ tak, aby liczba $p^2 + 11$ miała dokładnie 6 dzielników.

Udowodnij, że liczba $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{...}+\frac{1}{2002}\right)\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot 2002$ jest podzielna przez 2003.

Udowodnij, że liczba $2003^2 + 2004^2 + 2003^2 \cdot 2004^2$ jest kwadratem liczby naturalnej.

Czy istnieje liczba naturalna $a$, że równanie $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$ ma 99 rozwiązań w liczbach naturalnych.

Wyznacz liczby $a\text{ i } b,$ dla których $a^3+b^3$ osiąga wartość najmniejszą jeśli wiadomo, że $a+b=28.$

Czy liczbę $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \text{...} + 2004^2$ można zapisać jako sumę:

1. 2003 kwadratów różnych liczb naturalnych,
2. 2002 kwadratów różnych liczb naturalnych?

Na prostej zaznaczono pewną liczbę punktów. Następnie między każdymi sąsiednimi punktami zaznaczono jeden punkt. Proces ten powtórzono dwukrotnie w nowej sytuacji i okazało się, że na prostej jest zaznaczonych 113 punktów. Ile punktów było zaznaczonych na początku?

Rozstrzygnąć, która z wielkości jest większa: $a + b$ czy $c + h_c,$ gdzie $a\text{ i } b$ są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym oraz $c$ jest przeciwprostokątną $\text{i } h_c$ jest wysokością opuszczoną $\text{na bok } c.$

Pokazać, że w trójkącie zachodzi wzór $\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c},$ gdzie $r$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, $h_a,\; h_b,\; h_c$ są wysokościami tego trójkąta.

Która z liczb sześciocyfrowych podzielnych przez 8 ma największą sumę cyfr?

Zbiór liczb naturalnych podzielono na dwa nieskończone i rozłączne podzbiory. Uzasadnić, że w każdym z tych podzbiorów można wybrać po 2004 liczby tak, by sumy tych liczb były jednakowe.

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych $p,\; q,\; r$ takich, że $19\cdot p-q\cdot r=1995.$

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, które są 83 razy większe od sumy swoich cyfr.

Czy istnieją liczby naturalne dodatnie $a,\; b,\; c$ takie, że $(a+b)\cdot (b+c)\cdot (c+a)=340?$

W ostrokątnym trójkącie $ABC$ poprowadzono wysokość $CD.$ Niech $K\text{ i } L$ będą rzutami prostokątnymi punktu $D$ odpowiednio na boki $AC\text{ i } BC.$ Udowodnij, że punkty $A,\; B,\; K,\; L$ leżą na jednym okręgu.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkową $AM.$ Niech $r_1\text{ i } r_2$ będą promieniami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty $ABM\text{ i } AMC.$ Udowodnij, że $r_1 \lt 2r_2.$

Dany jest trapez $ABCD,$ w który można wpisać i na którym można opisać okrąg. Jedna z podstaw tego trapezu ma długość 20 cm, a jedno z ramion ma długość 15 cm. Wyznaczyć odległość pomiędzy środkami okręgów wpisanego w ten trapez i opisanego na tym  trapezie.