Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2003/2004

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004
Zadania niespodzianki na spotkanie kończące Ligę Zadaniową w roku szkolnym 2003/2004 w dniu 15.05.2004 r.
Zadanie 1
Czy w ciągu liczb postaci: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się od pewnej naturalnej potęgi liczby 10 o 2?
Zadanie 2
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p+1 jest kwadratem liczby naturalnej?
Zadanie 3
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p tak, aby liczba p² + 11 miała dokładnie 6 dzielników.
Zadanie 4
Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 2003.
Zadanie 5
Udowodnij, że liczba 2003² + 2004² + 2003² × 2004² jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 6
Czy istnieje liczba naturalna a, że równanie ma 99 rozwiązań w liczbach naturalnych.
Rozwiązanie Michała Kędera
Zadanie 7
Wyznacz liczby a i b, dla których a³ + b³ osiąga wartość najmniejszą jeśli wiadomo, że a + b = 28.
Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego
Zadanie 8
Czy liczbę 1² + 2² + 3² + 4² + ... + 2004² można zapisać jako sumę: 2003 kwadratów różnych liczb naturalnych, 2002 kwadratów różnych liczb naturalnych?
Zadanie 9
Na prostej zaznaczono pewną liczbę punktów. Następnie między każdymi sąsiednimi punktami zaznaczono jeden punkt. Proces ten powtórzono dwukrotnie w nowej sytuacji i okazało się, że na prostej jest zaznaczonych 113 punktów. Ile punktów było zaznaczonych na początku?
Zadanie 10
Rozstrzygnąć, która z wielkości jest większa: a + b czy c + h_c, gdzie a i b są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym oraz c jest przeciwprostokątna i h_c jest wysokością opuszczoną na bok c.
Zadanie 11
Pokazać, że w trójkącie zachodzi wzór , gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, h_a, h_b, h_c są wysokościami tego trójkąta.
Zadanie 12
Która z liczb sześciocyfrowych podzielnych przez 8 ma największą sumę cyfr?
Zadanie 13
Zbiór liczb naturalnych podzielono na dwa nieskończone i rozłączne podzbiory. Uzasadnić, że w każdym z tych podzbiorów można wybrać po 2004 liczby tak, by sumy tych liczb były jednakowe.
Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej
Zadanie 14
Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takich, że 19 · p - q · r = 1995.
Zadanie 15
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, które są 83 razy większe od sumy swoich cyfr.
Zadanie 16
Czy istnieją liczby naturalne dodatnie a, b, c takie, że (a + b) · (b + c) · (c + a) = 340 ?
Zadanie 17
W ostrokątnym trójkącie ABC poprowadzono wysokość CD. Niech K i L będą rzutami prostokątnymi punktu D odpowiednio na boki AC i BC. Udowodnij, że punkty A, B, K, L leżą na jednym okręgu.
Zadanie 18
W trójkącie ABC poprowadzono środkową AM. Niech r₁ i r₂ będą promieniami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty ABM i AMC. Udowodnij, że r₁ < 2r₂.
Zadanie 19
Dany jest trapez ABCD, w który można wpisać i na którym można opisać okrąg. Jedna z podstaw tego trapezu ma długość 20 cm, a jedno z ramion ma długość 15 cm. Wyznaczyć odległość pomiędzy środkami okręgów wpisanego w ten trapez i opisanego na tym trapezie.

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej
w roku 2003/2004 !