LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV 
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 13

Zbiór liczb naturalnych podzielono na dwa nieskończone i rozłączne podzbiory. Uzasadnić, że w każdym z tych podzbiorów można wybrać po 2004 liczby, tak by sumy tych liczb były jednakowe.

Rozwiązanie

Niech te dwa rozłączne, nieskończone zbiory to zbiór A i zbiór B.

Niech a należy do zbioru A i b należy do zbioru B.

Istnieje nieskończenie wiele par liczb a i b takich, że a+1=b

(gdyż jeżeli liczba "a+1" zawiera się w zbiorze A to bierzemy kolejną o 1 większą liczbę. W końcu musimy natrafić na liczbę ze zbioru B, bo jeśli byśmy nie natrafili, to oznaczałoby to, że od pewnej liczby wszystkie liczby należałyby do zbioru A. Co przeczy założeniu o nieskończoności zbioru B.)

Podobnie rozumując dochodzimy do wniosku, że istnieje nieskończonie wiele par liczb c i d gdzie c należy do zbioru A i d należy do zbioru B, takich, że c-1=d

Uzyskujemy dwa równania:

a+1=b

c-1=d

Po dodaniu ich do siebie otrzymujemy:

a+c=b+d

Stąd wynika, że istnieje nieskończenie wiele par liczb ze zbioru A, których suma równa się dwum liczbą ze zbioru B.

A więc sumując do 1002 par liczb ze zbioru A (czyli 2004 liczby) zawsze możemy dobrać 1002 pary liczb ze zbioru B (czyli 2004 liczby), których suma równa się sumie liczb ze zbioru A.