LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 9

Liczba naturalna n równa jest sumie pewnych trzech różnych dzielników liczby n - 1. Wyznacz wszystkie liczby n o tej własności.

Rozwiązanie

Niech d1, d2, d3 oznaczają parami różne dzielniki liczby n - 1 ustawione największego do największego, tzn. d1 >  d2 > d3

i niech

n = d1 + d2 + d3

Niech .

Liczby a, b, c są naturalne, a < b < c i .

Wtedy

Możemy wynieść n - 1 przed nawias:

Możemy obie strony równania podzielić przez n - 1:

a więc

Popatrzmy jakie kolejne 3 wartości od największej do najmniejszej może przyjmować :

  za dużo.

  pasuje.

  to za mało.

Dalsze wartości będą jeszcze mniejsze więc nie będą spełniać warunków zadania.

Ostatecznie wynika stąd, że jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest n = 13.

Paweł Kruszka