LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 13

Dla jakich wartości m, z odcinków długości 2m + 2, m + 8, 3m + 1 można zbudować trójkąt równoramienny?

ROZWIĄZANIE:

Trójkąt można zbudować tylko w tedy gdy suma długości dwóch jego boków jest większa od długości trzeciego boku. W trójkącie równoramiennym dwa boki mają tę samą długość. Oznaczmy odcinki jako boki trójkąta, i tak: 
a = 2m + 2,
b = m + 8, 
c = 3m + 1.
Musimy przeanalizować przypadki:
(1) a = b      (2) a = c       (3) b = c
przy czym za każdym razem musimy sprawdzić czy spełnione są trzy nierówności trójkąta: 
a + b > c
a + c > b
b + c > a.

Szukamy, dla jakich wartości m poszczególne równości będą spełnione.

(1) a = b
2m + 2 = m + 8
2m - m = 8 - 6
m = 6
a = 2m + 2 = 14
b = m + 8 = 14
c = 3m + 1 = 19 		(2) a = c
2m + 2 = 3m + 1
2m - 3m = 1 - 2
-m = -1
m = 1
a = 2m + 2 = 4
b = m + 8 = 9
c = 3m + 1 = 4 		(3) b = c
m + 8 = 3m + 1
m - 3m = 1 - 8
-2m = -7
m = 3,5
a = 2m + 2 = 9
b = m + 8 = 11,5
c = 3m + 1 = 11,5
  Wszystkie nierówności trójkąta są spełnione.   Nie spełniona jest nierówność a + c > b.   Wszystkie nierówności trójkąta są spełnione.

ODPOWIEDŹ:

Z podanych odcinków można zbudować trójkąt równoramienny
gdy m=6 lub m=3,5.

Marcin Pezda