LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Zadanie 19 Wyznacz liczbę naturalną, której zapis dziesiętny zaczyna się cyfrą 4, natomiast jeśli cyfrę; przeniesiemy na koniec zapisu dziesiętnego, zachowując pozostałe cyfry w poprzednim porządku, to otrzymamy liczbę czterokrotnie mniejszą. Podaj inną liczbę o tej samej własności.
Rozwiązanie Należy najpierw zobaczyć, jak zmienia się wartość liczby po takim przestawieniu.Na przykład dla liczb dwucyfrowych:
| Przykład | Ogólnie | ||
|---|---|---|---|
| Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 | Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 |
| 46 = 4×10+6 | 64=6×10+4 | 4×10+a | 10×a+4 |
| a=6 | aÎ{1, 2,...,9} | ||
4×(10×a+4) = 4×10 + a
39×a = 24
To równanie nie ma rozwiązania w zbiorze {1, 2,...,9}.
Poszukajmy więc wśród liczb trzycyfrowych:
| Przykład | Ogólnie | ||
|---|---|---|---|
| Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 | Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 |
| 476 = 4×102+76 | 764=76×10+4 | 4×102+a | 10×a+4 |
| a = 76 | aÎ{10, 11,...,99} | ||
4×(10×a+4)= 4×102+a
39×a = 384
Brak rozwiązania w zbiorze {10, 11,...,99}.Poszukajmy więc wśród liczb czterocyfrowych:
| Przykład | Ogólnie | ||
|---|---|---|---|
| Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 | Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 |
| 4351 = 4×102+351 | 3514=351×10+4 | 4×103+a | 10×a+4 |
| a = 76 | aÎ{100, 101,...,999} | ||
4×(10×a+4)= 4×103+a
39×a = 3984
Brak rozwiązania w zbiorze {100, 101,...,999}.Poszukajmy więc wśród liczb pięciocyfrowych:
| Przykład | Ogólnie | ||
|---|---|---|---|
| Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 | Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 |
| 43581 = 4×102+3581 | 35814=3581×10+4 | 4×104+a | 10×a+4 |
| a = 3581 | aÎ{1000, 101,...,9999} | ||
4×(10×a+4)= 4×104+a
39×a = 39984
Brak rozwiązania w zbiorze {1000, 101,...,9999}Poszukajmy więc wśród liczb sześciocyfrowych (nie traćmy nadziei):
| Przykład | Ogólnie | ||
|---|---|---|---|
| Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 | Liczba początkowa | Liczba po przestawiniu 4 |
| 435871 = 4×102+35871 | 358714=3581×10+4 | 4×105+a | 10×a+4 |
| a = 3581 | aÎ{10000, 10001,...,99999} | ||
4×(10×a+4)= 4×105+a
39×a = 399984
a=10256
Jest !
Szukamy dalej ...
Właściwie już wiadomo o co chodzi. Chodzi o to aby liczba postaci 399...984 dzieliła się przez 39. Pytanie ile powinno być cyfr 9 w środku.
Ułamek 399...984/39 na pewno skraca się przez 3 i łatwo policzyć, że
399...984/39 =133...3328/13.
Ile więc ma być cyfr 3 w środku liczby 133...328, aby dzieliła się ona przez 13. Zauważmy, że 133...3328 =1300...0+33..3+3328.333333/13=25641
Podwojenie liczby trójek zachowa podzielność, bo333333|333333=333333000000+333333.
333333|333333/13=25641000000+25641=25641025641
Potrojenie tak samo, itd. Zatem liczba postaci 1333...33328 jest podzielna przez 13 jeśli liczba trójek pogrubionych jest podzielna przez 6. Zatem liczba wszystkich trójek musi dawać resztę 3 z dzielenia przez 6. Mamy więc wszystkie szukane liczby:| a | Szukana liczba |
| 13328/13=10256 | 410256 |
| 13|333333|3328/13=10256410256 | 410256410256 |
| 13|333333|333333|3328/13=10256410256410256 | 410256410256410256 |
| itd. | Następne liczby powstają przez dopisanie na końcu cyfr 410256 |
Błażej Smółek