LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 19

W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CH. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli wiadomo, że |HB| - |AH| = |AC|.

ROZWIĄZANIE

|BH|-|AH|=|AC|
|BH|=|AC|+|AH|

Niech A' będzie takim puntem na odcinku BH, że |A'H|=|AH|.
Wtedy trójkąty CAH i CA'H są przystające, a trójkąt CA'B jest równoramienny, bo |CA'|=|CA|=|A'B|.
Stąd, jeśli |ĐCBA| = a,
to |ĐA'CB|= a
oraz |ĐCA'B| = 180°-2a,
a więc |ĐCA'H| = 2a = |ĐCAH|. Suma kątów w trójkącie (tu ABC) jest równa 180°,
więc
90° + a + 2a = 180°
3a = 90°
a = 30°.

ODPOWIEDŹ

Miary kątów w tym trójkącie mają miary 30°, 60° i 90°.