Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Na liczbach x, y wykonano działania $x + y,$ $x - y,$ $x \times y,$ $x : y$ i otrzymano liczby $-72,\; -2,\; 6\text{ i }18$ przy czym kolejność wypisanych liczb nie musi się pokrywać z kolejnością wymienionych poprzednio działań. $\text{Wyznacz liczby } x,\; y.$

Piotr pomyślał sobie pewną liczbę. Następnie dodał do niej 3. Otrzymaną sumę podzielił przez 7, a otrzymany iloraz pomnożył przez 2. Potem od ostatniego wyniku odjął 10. Gdy tę różnicę podzielił przez 4, otrzymał liczbą ujemną -2. Jaką liczbę pomyślał Piotr?

Jeżeli liczbę $p$ zmniejszymy o 25%, a następnie zwiększymy trzykrotnie, to otrzymamy liczbę o 6 mniejszą $\text{od }p.$ Znajdź liczbę $p.$

Czy istnieje trójkąt o wysokościach długości 6 m, 3 cm i  2 cm?

Książka zawiera $x\text{ stronic}.$ Na każdej jest $y\text{ wierszy}$, a w każdym wierszu $z\text{ liter}.$ W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wymiary druku tak, że w każdym wierszu zmieściło się $a\text{ liter}$, a na każdej stronie $b\text{ wierszy}.$ Ile stron zawierało drugie wydanie tej książki?

Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden z boków jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?

Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co przebył drugiego dnia, a trzeciego dnia przebył mniej niż $\frac{2}{5}$ całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego  dnia?

Po skreśleniu ostatniej cyfry pewnej liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 12 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

W pewnym miesiącu trzy niedziele wypadły w dni parzyste. Jaki dzień tygodnia wypada dwudziestego tego miesiąca?

Płytkę o wymiarach 60 cm na 85 cm obrysowano ołówkiem na kartce papieru. Znajdź środek otrzymanego prostokąta posługując się tylko płytką i ołówkiem.

Czy istnieje prostokąt, któregoe długości dwóch boków wynoszą odpowiednio $\frac{3}{8}\text{ i }\frac{2}{17}$ długości obwodu tegoe prostokąta?

Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe postaci $\overline{abcd}$ wiedząc, że są one podzielne przez 3 i takie, $\text{że }a,\; c,\; d$ są kolejnymi liczbami parzystymi.
($\overline{abcd}$ oznacza zapis dziesiętny liczby, to znaczy: $a$ jest cyfrą tysięcy, $b$-cyfrą setek, $c$- cyfrą dziesiątek $\text{i } d$ - cyfrą jedności.)

Liczbę $a$ zmniejszono o 15%, a następnie tak otrzymaną liczbę zwiększono o 15%. Czy otrzymana liczba jest większa, równa czy mniejsza od liczby $a?$

Suma dwóch liczb jest równa 51. Jeżeli w większym składniku skreślimy jedną cyfrę, to otrzymamy drugi składnik. Jakie to liczby?

1. Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb:
   $1,\;\ast,\;\ast,\;\ast, 7,\;\ast,\;\ast, \;\ast, 5, \;\ast$
   suma każdych trzech liczb była jednakowa?
2. Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb:
   
   $1,\;\ast,\;\ast,\;\ast, 7,\;\ast,\;\ast, \;\ast, 5, \;\ast$
   suma każdych trzech kolejnych liczb była jednakowa?

Jeżeli podzielimy 100 przez $p,$ to otrzymamy $m$ i resztę 6. Oblicz $p\text{ i }m.$

W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) poprowadzono wysokość $CH.$ Znaleźć kąty w tym trójkącie, jeśli wiadomo, $\text{że }|HB|-|AH|=| AC|.$

W koszyku jest 20 grzybów. Są to prawdziwki, kozaki i podgrzybki. Ile jest w nim prawdziwków, jeśli kozaków jest 9 razy więcej niż podgrzybków?

Prostokąt o bokach długości $8 \text{ cm i } 18 \text{ cm}$ podziel wzdłuż linii prostych na dwie części tak, aby można było utworzyć z nich kwadrat.

Czy liczby naturalne $a\text{ i }b$ mogą być nieparzyste, jeśli $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1?$

Do restauracji dostarczono $\frac{1}{4}$ zamówionych produktów, dodatkowo w południe 15% zamówionych produktów, a wieczorem 90 kg więcej niż w południe. Ile kilogramów produktów zamówiła restauracja?

Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta, jeżeli wiadomo, że jeden kąt jest 1,5 razy większy od drugiego, a trzeci jest równy sumie dwóch pozostałych kątów.

Na okręgu $O$ obrano cztery punkty: $K,\; L,\; M,\; N$ takie, że $|\angle KLM| = 1000^{\circ}, |\angle KLM| = 60^{\circ}.$ Wykonaj rysunek pomocniczy i oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta $KNML.$