LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Zadanie 19
W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CH.
Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeśli
wiadomo, że |HB| - |AH| = |AC|.
ROZWIĄZANIE
|BH|-|AH|=|AC|
|BH|=|AC|+|AH|
Niech A' będzie takim puntem na odcinku BH, że |A'H|=|AH|.
Wtedy trójkąty CAH i CA'H są przystające, a trójkąt CA'B jest równoramienny, bo |CA'|=|CA|=|A'B|.
Stąd, jeśli |∠CBA| = α,
to |∠A'CB|= α
oraz |∠CA'B| = 180°-2α,
a więc |∠CA'H| = 2α = |∠CAH|.
Suma kątów w trójkącie (tu ABC) jest równa 180°,
więc
90° + α + 2α = 180°
3α = 90°
α = 30°.
ODPOWIEDŹ
Kąty w tym trójkącie mają miary 30°, 60° i 90°.
Błażej Smułek