Zadanie 2

Zadanie 2

Czy w ciągu liczb 2,4,8,16,... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się od pewnej potęgi naturalnej liczby 10 o 2?

Rozwiązanie:

Liczby 2, 4, 8, 16, ... są kolejnymi potęgami liczby 2 o wykładnikach naturalnych:

2 4 8 16 ... 2^k ...

2¹ 2² 2³ 2⁴ ... 2^k ...

Mamy do dyspozycji:

Potęgi liczby 2:	2¹	2²	2³	2⁴	...	...	...	...	...	2^k
Potęgi liczby 10:	10¹	10²	10³	10⁴	...	...	10ⁿ	...	...	...

Liczba 2³ spełnia warunek zadania, bo

10¹ - 2³ = 2

Ale 2³ = 8, więc pytanie w zadaniu sprowadza się do tego, czy istnieje liczba naturalna n większa niż 3 i liczba naturalna k większa niż 1, że:

10ⁿ - 2^k=2

Pokażę, że jest to niemożliwe.
Gdyby tak było, to wtedy mielibyśmy, że

10ⁿ = 2^k + 2

2 ^. 5 ^. 10^{n - 1} =2 (2^{k - 1} + 1)

5 ^. 10^{n - 1} = 2^{k - 1} + 1

Ale liczba 5 ^. 10^{n - 1} jest parzysta, a liczba 2^{k - 1} + 1 jest nieparzysta więc nie mogą być równe.

Odpowiedź:

Takiej liczby nie ma.

Paweł Sobociński