Zadanie 1
Czy iloczyn cyfr pewnej liczby naturalnej może być równy 66?
Zadanie 2
Czy w ciągu liczb postaci: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się od pewnej naturalnej potęgi liczby 10 o 2?
Zadanie 3
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze $p,$ dla których liczba $3p+1$ jest kwadratem liczby naturalnej?
Zadanie 4
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ tak, by liczby $p^2 - 2,$ $2p^2 - 1$ $\text{i } 3p^2 + 1$ były także liczbami pierwszymi.
Zadanie 5
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ tak, aby liczba $p^2 + 11$ miała dokładnie 6 dzielników.
Zadanie 6
Podać przykład pięciu liczb całkowitych, których suma jest równa 20, a ich iloczyn jest równy 420.
Zadanie 7
Udowodnij, że liczba $2003^2 + 2004^2 + 2003^2 \cdot 2004^2$ jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 8
Udowodnij, że liczba $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{...}+\frac{1}{2002}\right)\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \text{...}\cdot 2002$ jest podzielna przez 2003.
Zadanie 9
Czy można wykorzystując każdą z dziecięciu cyfr dokładnie jeden raz zapisać pewną liczbę naturalną i jej kwadrat?
Zadanie 10
Czy istnieje liczba naturalna $a$, że równanie $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}$
ma 99 rozwiązań w liczbach naturalnych.
Zadanie 11
Oblicz $\sqrt{1+2004\cdot \sqrt{1+2003\cdot \sqrt{1+2002\cdot \sqrt{1+2001\cdot 1999}}}}.$
Zadanie 12
Oblicz $\sqrt{1+2004\cdot \sqrt{1+2003\cdot \sqrt{1+2002\cdot \sqrt{1+2001\cdot 1999}}}}.$
Zadanie 13
Wyznacz liczby $a\text{ i } b,$ dla których $a^3+b^3$ osiąga wartość najmniejszą jeśli wiadomo, że $a+b=28.$
Zadanie 14
Dla jakich liczb całkowitych $n$ liczba $\frac{3n+7}{n+1}$ jest liczbą całkowitą?
Zadanie 15
Czy liczba naturalna trzycyfrowa może mieć 25 dzielników?
Zadanie 16
Znaleźć sto różnych liczb naturalnych, których suma wynosi 5051
Zadanie 17
Czy liczbę $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \text{...} + 2004^2$ można zapisać jako sumę:
- 2002 kwadratów różnych liczb naturalnych,
- 2001 kwadratów różnych liczb naturalnych?
Zadanie 18
Rozwiąż rebusy:
- $\text{KRAB + KRAB + KRAB + KRAB = SKARB}$
- $\text{ŻABA + ŻABA + ŻABA + ŻABA = BAGAŻ}$
Zadanie 19
Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby $a,\; b,\; c,$ jeśli:
$a=\frac{111110}{111111},\;b=\frac{222221}{222223},\;c=\frac{333331}{333334}.$
Zadanie 20
Na prostej zaznaczono pewną liczbę punktów. Następnie między każdymi sąsiednimi punktami zaznaczono jeden punkt. Proces ten powtórzono dwukrotnie w nowej sytuacji i okazało się, że na prostej jest zaznaczonych 113 punktów. Ile punktów było zaznaczonych na początku?
Zadanie 21
Pokolorować tablicę o wymiarach $4\times 4$ dwoma kolorami białym i czarnym tak, aby:
- każda czarna klatka miała trzech sąsiadów czarnych,
- każda klatka biała miała tylko jednego sąsiada.
Zadanie 22
Rozstrzygnąć, która z wielkości jest większa: $a + b$ czy $c + h_c,$ gdzie $a\text{ i } b$ są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym oraz $c$ jest przeciwprostokątną $\text{i } h_c$ jest wysokością opuszczoną $\text{na bok } c.$
Zadanie 23
Pokazać, że w trójkącie zachodzi wzór $\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c},$ gdzie $r$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, $h_a,\; h_b,\; h_c$ są wysokościami tego trójkąta.
Zadanie 24
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, które są 83 razy większe od sumy swoich cyfr.
Zadanie 25
Na okręgu dane są cztery punkty $A,\;B,\;C,\;D.$ $\text{Wiadomo, że }CD$ jest średnicą okręgu oraz, że cięciwy $AB\text{ i }CD$ są do siebie równoległe. Wyznaczyć $|AB|,$ jeśli $|AC| = 8$ $\text{i } |CD| = 6.$
Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej 2002/2003!
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej 2002/2003!