|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003
Zadania niespodzianki dla uczniów klas II gimnazjum
|
| Zadanie 1 |
Czy iloczyn cyfr pewnej liczby naturalnej może być równy 66?
|
Rozwiązanie Błażeja Smułka
|
| Zadanie 2 |
Czy w ciągu liczb 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się od pewnej potęgi naturalnej liczby 10 o 2?
|
Rozwiązanie Pawła Sobocińskiego
|
| Zadanie 3 |
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p+1 jest kwadratem liczby naturalnej?
|
Rozwiązanie Macieja Szczepkowskiego
|
| Zadanie 4 |
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p tak, by liczby p2 - 2, 2p2 - 1 i 3p2 + 1 były także liczbami pierwszymi.
|
Rozwiązanie Pauliny Szewczyk
|
| Zadanie 5 |
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p tak, aby liczba p2 + 11 miała dokładnie 6 dzielników.
|
Rozwiązanie Kingi Tatary
|
| Zadanie 6 |
Podać przykład pięciu liczb całkowitych, których suma jest równa 20, a ich iloczyn jest równy 420.
|
| Zadanie 7 |
Udowodnij, że liczba 20032 + 20042 + 20032 × 20042 jest kwadratem liczby naturalnej.
|
Rozwiązanie Marcina Walentynowicza
|
| Zadanie 8 |
Udowodnij, że liczba  jest podzielna przez 2003.
|
| Zadanie 9 |
Czy można wykorzystując każdą z dziecięciu cyfr dokładnie jeden raz zapisać pewną liczbę naturalną i jej kwadrat?
|
| Zadanie 10 |
Czy istnieje taka liczba naturalna a, że równanie  ma 99 rozwiązań w parach liczb naturalnych?
|
| Zadanie 11 |
Oblicz  .
|
| Zadanie 12 |
Oblicz  .
|
| Zadanie 13 |
Wyznacz liczby a i b, dla których a3 + b3 osiąga wartość najmniejszą jeśli wiadomo, że a + b = 28.
|
| Zadanie 14 |
Dla jakich liczb całkowitych n liczba  jest liczbą całkowitą?
|
| Zadanie 15 |
Czy liczba naturalna trzycyfrowa może mieć 25 dzielników?
|
| Zadanie 16 |
Znaleźć sto różnych liczb naturalnych, których suma wynosi 5051.
|
| Zadanie 17 |
Czy liczbę 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 20032 można zapisać jako sumę:
- 2002 kwadratów różnych liczb naturalnych,
- 2001 kwadratów różnych liczb naturalnych?
|
| Zadanie 18 |
Rozwiąż rebusy:
- KRAB + KRAB + KRAB + KRAB = SKARB
- ŻABA + ŻABA + ŻABA + ŻABA = BAGAŻ
|
| Zadanie 19 |
| Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby a, b, c jeśli:
|
| Zadanie 20 |
Na prostej zaznaczono pewną liczbę punktów. Następnie między każdymi sąsiednimi punktami zaznaczono jeden punkt. Proces ten powtórzono dwukrotnie w nowej sytuacji i okazało się, że na prostej jest zaznaczonych 113 punktów.Ile punktów było zaznaczonych na początku?
|
| Zadanie 21 |
Pokolorować tablicę o wymiarach 4×4 dwoma kolorami białym i czarnym tak, aby:
- każda czarna klatka miała trzech sąsiadów czarnych,
- każda klatka biała miała tylko jednego sąsiada.
Klatki nazywamy sąsiednimi gdy mają jeden wspólny bok.
|
| Zadanie 22 |
| Rozstrzygnąć, która z wielkości jest większa: a + b czy c + hc, gdzie a i b są przyprostokątnymi w trójkącie prostkątnym oraz c jest przeciwprostokątna i hc jest wysokością opuszczoną na bok c. |
| Zadanie 23 |
Pokazać, że w trójkącie zachodzi wzór  , gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, ha, hb, hc są wysokościami tego trójkąta.
|
| Zadanie 24 |
Wyznaczyć obwód trójkąta równoramiennego, jeśli jego podstawa ma długość 5 cm, a promień okręgu wpisanego wynosi 1 cm.
|
| Zadanie 25 |
Na okręgu dane są cztery punkty A, B, C, D. Wiadomo, że CD jest średnicą okręgu oraz, że cięciwy AB i CD są do siebie równoległe. Wyznaczyć |AB|, jeśli |AC| = 8 i |CD| = 6.
|