LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA NIESPODZIANKI NA ETAP IV
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p tak, by liczby p2-2, 2p2-1 i 3p2+1 były także liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie

Warianty:

I. Jeżeli liczba pierwsza jest parzysta.

Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest dwójka.

Sprawdźmy:
22-2=2
2×22-1=7
3×22+1=13
Liczba 2 spełnia wszystkie warunki.

II. Jeżeli liczba pierwsza jest nieparzysta.

3p2+1 da nam zawsze liczbę parzystą, ponieważ liczba pierwsza nieparzysta podniesiona do kwadratu i pomnożona prze 3 daje nam liczbę nieparzystą, ale kiedy dodamy do niej 1 otrzymamy liczbę parzystą. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest 2, więc jest to niemożliwe.

Odpowiedź

Wszystkie warunki tego zadania spełnia tylko liczba 2.



Paulina Szewczyk