Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2002/2003

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA NIESPODZIANKI NA ETAP IV
DLA KLAS I GIMNAZJUM

ZADANIE 3

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p dla których 3p + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Jeśli p = 2, to 3p + 1 = 7 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Jeśli p = 3, to 3p + 1 = 10 też nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą, p > 3 oraz 3p + 1 jest kwadratem liczby naturalnej n:

3p + 1 = n²

Od obu stron równania odejmijmy 1:

3p = n² - 1

Liczbę 1 możemy zapisać jako 1²:

3p = n² - 1²

Po prawej stronie występuje różnica kwadratów, więc możemy ją przedstawić jako iloczyn sumy i różnicy:

3p = (n - 1)(n + 1)

Ponieważ liczby 3 i p są pierwsze, więc oraz (n - 1) < (n + 1) więc mamy tylko dwie możliwości:

Możliwość I Możliwość II

n - 1 = 1    i    n + 1 = 3p n - 1 = 3    i    n + 1 = p

n = 2    i    2 + 1 = 3p n = 4    i    4 + 1 = p

n = 2    i    p = 1 n = 4    i    p = 5

Niemożliwe,

bo p = 1 nie jest liczbą pierwszą. Sprawdzenie:

3 × p + 1 = n²
3 × 5 + 1 = 4²
16 = 4²

Odpowiedź

Jedyną liczbą pierwszą p, dla której 3p+1 jest kwadratem liczby naturalnej, jest 5.

Maciej Szczepkowski

Możliwość I	Możliwość II
n - 1 = 1 i n + 1 = 3p	n - 1 = 3 i n + 1 = p
n = 2 i 2 + 1 = 3p	n = 4 i 4 + 1 = p
n = 2 i p = 1	n = 4 i p = 5
Niemożliwe, bo p = 1 nie jest liczbą pierwszą.	Sprawdzenie: 3 × p + 1 = n² 3 × 5 + 1 = 4² 16 = 4²