Twierdzenie 2

Twierdzenie: Jeśli p jest liczbą pierwszą i p ą 2, to p² + 11 dzieli się przez 4.

Dowód

Każda liczba naturalna z dzielenia przez 4 daje resztę 0, 1, 2, lub 3 tzn. można ją przedstawić w postaci 4k, 4k + 1 4k + 2 lub 4k + 3, gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
Jeśli p jest liczbą pierwszą różną od 2, to p jest liczbą nieparzystą, więc

nie może dzielić się przez 4
bo p = 4k = 2 × 2k,
i nie może dawać reszty 2 z dzielenia przez 4
bo p = 4k + 2 = 2 × (2k + 1).

Zatem p daje resztę 1 lub 3 z dzielenia przez 4.

Jeśli p daje resztę 1 z dzielenia przez 4, to p = 4k + 1 więc:
p² + 11 = (4k + 1)² + 11
p² + 11 = (16k² + 8k + 1) + 11
p² + 11 = 16k² + 8k + 12
p² + 11 = 4 × (4k² + 4k 3) dzieli się przez 4.
Jeśli p daje resztę 3 z dzielenia przez 4, to p = 4k + 3 więc:
p² + 11 = (4k + 3)² + 11
p² + 11 = (16k² + 24k + 9) + 11
p² + 11 = 16k² + 24k + 20
p² + 11 = 4 × (4k² + 6k + 5) dzieli się przez 4.