Twierdzenie 2

Twierdzenie: Jeśli p jest liczbą pierwszą i p ą 3, to p² + 11 dzieli się przez 3.

Dowód

Każda liczba naturalna z dzielenia przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2 tzn. można ją przedstawić w postaci 3k, 3k + 1 lub 3k + 2, gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
Jeśli p jest liczbą pierwszą różną od 3, to p jest nie dzieli się przez 3, więc p ą 3k. Zatem p daje resztę 1 lub 2 z dzielenia przez 3.

Jeśli p daje resztę 1 z dzielenia przez 3, to p = 3k + 1 więc:
p² + 11 = (3k + 1)² + 11
p² + 11 = (9k² + 6k + 1) + 11
p² + 11 = 9k² + 6k + 12
p² + 11 = 3 × (3k² + 43k 4) dzieli się przez 3.
Jeśli p daje resztę 2 z dzielenia przez 3, to p = 3k + 2 więc:
p² + 11 = (3k + 2)² + 11
p² + 11 = (9k² + 12k + 4) + 11
p² + 11 = 9k² + 12k + 15
p² + 11 = 3 × (3k² + 2k + 5) dzieli się przez 3.