LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA WAKACYJNE
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 1

Na ile sposobów liczbę 2004 można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych?

Rozwiązanie

Niech a oznacza większą, oraz b mniejszą z szukanych liczb.
Liczby a i b mają spełniać warunek:

2004 = a2 - b2

Skorzystam ze wzoru skróconego mnożenia: a2 - b2 = (a - b)(a + b)

2004 = (a - b)(a + b)

Czyli liczba 2004 ma być iloczynem dwóch liczb naturalnych: a - b oraz a + b, przy czym oczywiście a - b Ł a + b.
Szukamy na ile sposobów liczbę 2004 można przedstawić za pomocą iloczynu dwóch liczb naturalnych:

2004 = 1 · 2004
2004 = 2 · 1002
2004 = 3 · 668
2004 = 4 · 501
2004 = 6 · 334
2004 = 12 · 167

Tak więc a - b jest jednym czynnikiem (mniejszym), a a + b jest drugim czynnikiem (większym). Możemy sprawdzać po kolei wszystkie powyższe możliwości, ale można to zrobić prościej.

Oznaczmy przez p pierwszy czynnik, a przez q drugi. Wówczas:

a - b = p
a + b = q

Z pierwszego równania mamy, że a = b + p. Po podstawieniu do drugiego mamy: a + b = b + p + b = 2b + p = q. Stąd:

2b = q - p

Ponieważ b ma być liczbą naturalną q - p musi być podzielne przez 2. Szukamy takiego rozkładu liczby 2004 na czynniki by ich różnica była parzysta.

Warunek ten spełniają tylko dwa rozkłady:

2004 = 2 · 1002
2004 = 6 · 334

W pierwszym przypadku p = 2, q = 1002.
b = (q - p)/2 = (1002 - 2)/2 = 500
a = b + p = 502

W drugim przypadku p = 6, q = 334.
b = (q - p)/2 = (334 - 6)/2 = 164
a = b + p = 164 + 6 = 170

Odpowiedź

Liczbę 2004 można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych na dwa sposoby:

2004 = 5022 - 5002

2004 = 1702 - 1642

Paulina Bała