LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004

Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum        
Zadanie 1
Na ile sposobów liczbę 2003 można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych?
Rozwiązanie Pauliny Bały

Zadanie 2
Oblicz:

  1. Rozwiązanie 2a Przemka Buczkowskiego

  2. .
Rozwiązanie 2b Mikołaja Szymańskiego

Zadanie 3
Niech s(n) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej n. Czy istnieje liczba naturalna n, dla której zachodzi równość:
  1. n + s(n) + s(s(n)) = 2003

    Rozwiązanie Jacka Bułatka

  2. n + s(n) + s(s(n)) +s(s(s(n)))= 2003
Zadanie 4
Napisać pięć następnych liczb zgodnie z wyznaczoną regułą:

1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, ...

Rozwiązanie Roberta Chrzanowskiego

Zadanie 5
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie .

Zadanie 6
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie x + y + z = x×y×z.

Zadanie 7
Wyznaczyć wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Rozwiązanie Mateusza Gołaszewskiego

Zadanie 8
Wyznaczyć wszystkie liczby, których pierwszą cyfrą jest dwójka i które po przeniesieniu dwójki na koniec zmniejszą się dwa razy.

Rozwiązanie Oskara Górniewicza

Zadanie 9
Pierwszą cyfrą pewnej liczby jest 7. Cyfrę tę przeniesiono na koniec i wówczas otrzymano liczbę dwukrotnie mniejszą. Co to za liczba?

Rozwiązanie Mateusza Grąckiego

Zadanie 10
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n tak, aby liczba była liczbą całkowitą.
Rozwiązanie Magdy Jastrzembskiej

Zadanie 11
Najmniejsza wspólna wielokrotność pewnych dwóch liczb naturalnych jest 16 razy większa od ich największego wspólnego dzielnika. Uzasadnić, że jedna z tych liczb jest podzielna przez drugą.

Zadanie 12
Czy istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że (a + b) × (b + c) × (c + a) = 4242 ?

Rozwiązanie Michałą Kanigowskiego

Zadanie 13
Wyznaczyć wszystkie możliwe czwórki liczb naturalnych o następującej własności: iloczyn dowolnych trzech z nich powiększony o jeden jest podzielny przez czwartą z nich.

Rozwiązanie Mateusza Kierlańczyka

Zadanie 14
Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany trójkąt na dwa wielokąty o równych polach.

Zadanie 15
Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany czworokąt na dwa wielokąty o równych polach.

Zadanie 16
Wewnątrz czworokąta wypukłego znaleźć punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 17
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Dla punktu X leżącego na przeciwprostokątnej AB niech M i N będą takimi punktami leżącymi na przyprostokątnych AC i BC odpowiednio, że XM ^ AC i XN ^ BC. Przy jakim położeniu punktu X
  1. odcinek MN jest najkrótszy?
  2. pole prostokąta XMCN jest największe?
Zadanie 18
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wyznaczyć miary kątów trójkąta ABC jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 19
W trójkącie ABC poprowadzono z wierzchołka C wysokość i środkową. Podzieliły one kąt wewnętrzny przy wierzchołku C na trzy równe kąty. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC.
Rozwiązanie Pauli Mazepy

Zadanie 20
W czworokącie ABCD punkty E, F i G są środkami boków AB, BC i AD odpowiednio. Ponadto GE ^ AB, GF ^ BC i |ĐABC| = 96°. Wyznaczyć miarę kąta ACD.

Rozwiązanie Eweliny Rudnickiej

Zadanie 21
Punkty P, Q, R i S są środkami odpowiednio boków AB, BC, CD i DA w czworokącie ABCD. Punkt M leży wewnątrz tego czworokąta tak, że ASMP jest równoległobokiem. Udowodnić, że czworokąt MQCR jest także równoległobokiem.

Zadanie 22
Na tablicy znajduje się liczba 23. Po minucie ścieramy ją i wpisujemy sumę cyfr iloczynu liczby 23 i liczby 23. Po minucie tak samo postępujemy z otrzymaną liczbą, itd. Jaka liczba będzie na tablicy dokładnie po godzinie?
Rozwiązanie Hani Słupskiej

Zadanie 23
Czy w pojedyncze kratki kwadratu 4×4 można wpisać liczby naturalne od 1 do 16, w każdą kratkę po jednej liczbie tak by w sąsiednich kratkach każdej kratki (kratki sąsiadują gdy mają wspólny bok) były wszystkie liczby większe lub wszystkie liczby mniejsze?
Rozwiązanie Marcina Sokołowskiego

Zadanie 24
Na okręgu mamy 7 liczb naturalnych. Wiadomo, że w każdej parze sąsiednich liczb jedna z nich jest podzielna przez drugą. Uzasadnić, że istnieją dwie liczby, które nie sąsiadują ze sobą i jedna z nich jest podzielna przez drugą.
Rozwiązanie Mariusza Szulca

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej
w roku szkolnym 2004/2005.