Prezent wakacyjny
dla uczniów gimnazjum

Na ile sposobów liczbę 2003 można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych?

Oblicz:

1. $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\text{...}+\frac{1}{1002\cdot 2003},$
2. $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\text{...}+\frac{1}{1002\cdot 2003\cdot 2004}.$

Niech $s(n)$ oznacza sumę cyfr liczby naturalnej $n.$ Czy istnieje liczba naturalna $n,$ dla której zachodzi równość:

1. $n+s(n)+s(s(n))=2003,$
2. $n+s(n)+s(s(n))+s(s(s(n)))=2003.$

Napisać pięć następnych liczb zgodnie z wyznaczoną regułą: $1,\; 11,\; 21,\; 1112,\; 3112,\; 211213,\; 312213,\; 212223,\; \text{...}$

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2003}.$

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie $x+y+z=x\cdot y\cdot z.$

Wyznaczyć wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Wyznaczyć wszystkie liczby, których pierwszą cyfrą jest dwójka i które po przeniesieniu dwójki na koniec zmniejszą się dwa razy.

Pierwszą cyfrą pewnej liczby jest 7. Cyfrę tę przeniesiono na koniec i wówczas otrzymano liczbę dwukrotnie mniejszą. Co to za liczba?

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ tak, aby liczba $\frac{n+1}{2n-1} $ była liczbą całkowitą.

Najmniejsza wspólna wielokrotność pewnych dwóch liczb naturalnych jest 16 razy większa od ich największego wspólnego dzielnika. Uzasadnić, że jedna z tych liczb jest podzielna przez drugą

Czy istnieją liczby naturalne $a,\; b,\; c$ takie, że $(a + b) \times (b + c) \times (c + a) = 4242?$

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty nie leżące na jednej prostej. Ile istnieje równoległoboków, których trzy wierzchołki pokrywają się z danymi punktami.

Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany trójkąt na dwa wielokąty o równych polach.

Opisać konstrukcję prostej, która dzieli dany czworokąt na dwa wielokąty o równych polach.

Wewnątrz czworokąta wypukłego znaleźć punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC.$ Dla punktu $X$ leżącego na przeciwprostokątnej $AB$ niech $M\text{ i } N$ będą takimi punktami leżącymi na przyprostokątnych $AC\text{ i } BC$ odpowiednio, że $XM \bot AC\text{ i } XN \bot BC.$ Przy jakim położeniu punktu $X$

1. odcinek $MN$ jest najkrótszy?
2. pole prostokąta $XMCN$ jest największe?

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczną $AD.$ Wyznaczyć miary kątów trójkąta $ABC$ jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABD$ jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC.$

W trójkącie $ABC$ poprowadzono z wierzchołka $C$ wysokość i środkową. Podzieliły one kąt wewnętrzny przy  wierzchołku $C$ na trzy równe kąty. Wyznaczyć kąty trójkąta $ABC.$

W czworokącie $ABCD$ punkty $E,\; F \text{ i } G$ są środkami boków $AB,\; BC \text{ i } AD$ odpowiednio. Ponadto $GE \bot AB,\; GF \bot BC$ $\text{i } |\angle ABC| = 96^{\circ}.$ Wyznaczyć miarę kąta $ACD.$

Punkty $P,\; Q,\; R \text{ i } S$ są środkami odpowiednio boków $AB,\; BC,\; CD \text{ i } DA$ w czworokącie $ABCD.$ Punkt $M$ leży wewnątrz tego czworokąta tak, że $ASMP$ jest równoległobokiem. Udowodnić, że czworokąt $MQCR$ jest także równoległobokiem.

Na tablicy znajduje się liczba 23. Po minucie ścieramy ją i wpisujemy sumę cyfr iloczynu liczby 23 i liczby 23. Po minucie tak samo postępujemy z otrzymaną liczbą, itd. Jaka liczba będzie na tablicy dokładnie po godzinie?

Czy w pojedyncze kratki kwadratu $4\times 4$ można wpisać liczby naturalne od 1 do 16, w każdą kratkę po jednej liczbie tak by w sąsiednich kratkach każdej kratki (kratki sąsiadują gdy mają wspólny bok) były wszystkie liczby większe lub wszystkie liczby mniejsze?

Na okręgu mamy 7 liczb naturalnych. Wiadomo, że w każdej parze sąsiednich liczb jedna z nich jest podzielna przez drugą. Uzasadnić, że istnieją dwie liczby, które nie sąsiadują ze sobą i  jedna z nich jest podzielna przez drugą.