LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA WAKACYJNE
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 3a

Niech s(n) będzie sumą cyfr liczby naturalnej n

Czy istnieje liczba naturalna n dla której zachodzi równość:

n + s(n) + s(s(n)) = 2003 ?

Rozwiązanie:

Twierdzenie pomocnicze:

Liczba naturalna n daje z dzielenia przez 3 taką samą resztę jak suma cyfr liczby n.

Z powyższego twierdzenia wynika że: n, s(n) i s(s(n)) dają taką samą resztę z dzielenia przez 3. Czyli albo 0 albo 1 albo 2.

Z tego wynika, że:

n + s(n) + s(s(n)) = 3k + 0 + 0 + 0 = 3k
lub
n + s(n) + s(s(n)) = 3k + 1 + 1 + 1 = 3(k + 1)
lub
n + s(n) + s(s(n)) = 3k + 2 + 2 + 2 = 3(k + 2)

gdzie k jest jakąś liczbą naturalną.

Liczby: 3k, 3(k + 1) i 3(k + 2) są podzielne przez trzy, co znaczy, że suma n + s(n) + s(s(n)) jest podzielne przez 3.

Ale 2003 nie dzieli się przez 3, więc 2003 nie może być wynikiem takiej sumy.

Jacek Bułatek