LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA WAKACYJNE
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 12

Czy istnieją liczby naturalne a,b,c takie, że (a + b)·(b + c)·(c + a) = 4242?

Rozwiązanie

Oznaczmy (a+b) przez x, (b+c) przez y, (c+a) przez z. Wtedy

x · y · z = 4242

Zauważmy, że liczby x, y, z muszą spełniać następujący warunek:

Suma dowolnych dwóch z tych liczb z nich jest mniejsza niż trzecia liczba, bo:

x + y = a + b + b + c > a + c = z
x + z = a + b + c + a > b + c = y
y + z = b + c + c + a > a + b = x


Rozładam liczbę 4242 na czynniki pierwsze
4242|2
2121|3
 707|7
 101|101
   1|
Któraś z liczb x , y, z będzie wynosiła 101 lub więcej. W takim razie suma 2 pozostałych liczb ngdy nie przekroczy 101, więc jest to niemożliwe.

Odpowiedź

Nie istnieją liczby naturalne a, b, c takie, że (a + b) · (b + c) · (c + a) = 4242.

Michał Kanigowski