LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA WAKACYJNE
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 7

Wyznaczyć wszystkie liczby sześciocyfrowe, które zwiększą się sześciokrotnie, gdy ich trzy ostatnie cyfry przeniesiemy bez zmiany porządku na początek.

Rozwiązanie:

Na początku musimy postawić sobie pytanie:

Jak można "literkowo" zapisać liczbę sześciocyfrową?

Odpowiemy na to pytanie wzorem:

a·100000 + b·10000 + c·1000 + d·100 + e·10 + f

No dobrze, ale po co nam aż tyle liter? Spróbujmy ograniczyć się do dwóch: x i y.

x·1000 + y,

gdzie x jest liczbą trzcyfrową, a y jest liczbą jednocyfrową lub dwicyfrową lub trzycyfrową. Na przykład:

234003 = 243·1000 + 3
764056 = 764·1000 + 56
608556 = 608·1000 + 556

A teraz pytanie:

Jak zmieni się literkowy zapis tej liczby gdy jej trzy ostatnie cyfry przestawimy na początek?

Popatrzmy na przykłady:

234003 = 243·1000 + 3 3234 = 3·1000 + 234
764056 = 764·1000 + 56 56764 = 56·1000 + 674
608556 = 608·1000 + 556 556608 = 556·1000 + 608

Na literkach będzie to wyglądało tak:

Początkowa liczba = x·1000 + y Nowa liczba = y·1000 + x

Wiemy, że nowa liczba jest 6 razy większa od początkowej, więc

y·1000 + x = 6·(x·1000 + y)

Koniec tej gadaniny, trzeba teraz rozwiązać to równanie:

y·1000 + x = 6·(x·1000 + y)

1000y + x = 6000x + 6y   / - x

1000y = 5999x + 6y   / - 6y

994y = 5999x

994 i 5999, to dość duże liczby, więc by ułatwić sobie ich "skrócenie", rozkładamy je na czynniki pierwsze:

994 = 2·7·71     5999 = 857·7

Wracam teraz do równania:

2·7·71·y = 857·7·x    / : 7

2·71·y = 857·x

Wygląda na to, że liczba y musi się dzielić przez 857. Ale y liczbą mniejszą niż 1000 więc

y = 857

Wracam znów do równania:

2·71·857 = 857·x

x = 2·71

x = 142

Szukana liczba to:

x·1000 + y = 142·1000 + 857 = 142857

Mateusz Gołaszewski