LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA WAKACYJNE
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Zadanie 24
Na okręgu mamy 7 liczb naturalnych. Wiadomo, że w każdej parze s±siednich liczb jedna z nich jest podzielna przez drug±. Uzasadnić, że istniej± dwie liczby, które nie s±siaduj± ze sob± i jedna z nich jest podzielna przez drug±.
Rozwi±zanie:
Spróbuję wskazać przykład takiego rozmieszczenia liczb na okręgu, że każdej parze s±siednich liczb jedna z nich jest podzielna przez drug±,
ale NIE istniej± dwie takie liczby nies±siaduj±ce, że jedna z nich jest podzielna przez drug±.
Na następnych rysunkach pomocniczych zwrot
A>B
oznacza, że A jest podzielne przez B.
Załóżmy, że A jest podzielne przez B (a nie B przez A). Gdyby B było podzielne przez C, A także musiałoby być podzielne przez C. Wtedy mieli by¶my przykład liczb nie s±siaduj±cych ze sob± i podzielnych przez siebie, ale ja próbuję uzasadnić, że takie liczby nie istniej±, więc muszę w takim razie przyj±ć, że C jest podzielne przez B (a nie B przez C).
Podobnie rozumuj±c, ustalam co jest podzielne przez co, jak na poniższym rysunku, aż dochodzę do liczby G.
Je¶li G jest podzielne przez A, to jest podzielne także przez B. Je¶li A jest podzielne przez G, to jest podzielne także przez F. Tak więc nie udało się udowodnić, że takie liczby nie istniej±, to znaczy, że istniej±.
Mariusz Szulc