LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie:

Wyznaczyć pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości 1, , 1, , 1, , 1,. w podanej kolejności.

Rozwiązanie:

Dany jest kwadrat o boku 1/1. Jak powszechnie wiadomo, przekątna tego kwadratu jest równa pierwiastek z dwóch. Wynika to z Tw. Pitagorasa:

a2 + b2 = c2
12 + 12 = c2
2 = c2
= c

Korzystając z powyższych wlasności narysujmy dany ośmiokąt:

Pierwiastek z dwóch

Z pomocą rysunku policzmy pole ośmiokąta:

P = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
P = 6

Dzieje się tak ponieważ, na pole tej figury składają się:

- 4 trójkąty - każdy z nich to ćwiartka kwadratu o polu równym jeden;
- 5 kwadratów - każdy o polu równym jeden.

Natomiast obwód jest równy:

Obw = 4 + 4 Pierwiastek z dwóch

Odp:Pole tego ośmiokąta jest równe 6j2, a obwód (4 + 4 Pierwiastek z dwóch) jednostek długości .

Robert Chrzanowski