Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Dane są punkty $A=(-4, 2),$ $B=(2, 2),$ $C=(2, -4).$ $\text{Niech } A_1,\; B_1,\; C_1$ będą odpowiednio obrazami punktów $A,\; B,\; C$ w symetrii względem osi $X.$ Obliczyć obwód i pole figury:

1. będącej częścią wspólną trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1,$
2. będącej sumą (złączeniem) trójkątów $ABC\text{ i } A_1B_1C_1.$

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt $(-1,-1)$, a jednym z wierzchołków jest punkt $(-5,-1)$. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości $2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2},\; 2,\; \sqrt{2}.$

Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AM \text{ i }BN.$ Ponadto punkt $P$ jest środkiem boku $AB$ $\text{oraz }|\angle ACB| = 60^{\circ}.$ Udowodnić, że trójkąt $MNP$ jest równoboczny.

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu $r.$

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W rombie $ABCD$ dane są wierzchołki $A=(-1; 3)\text{ i } C=(-1, 5).$ Wyznaczyć współrzędne wierzchołków $B\text{ i } D$ wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Czy zbiór punktów {(1,1), (5,1), (1,5)} ma osie symetrii? Jeśli tak, to wyznacz równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii? Wyznacz współrzędne wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.

Wierzchołkami czworokąta $ABCD$ są punkty $A = (-4, 0),$ $B = (6, 0),$ $C = (2, 3)$ $\text{i } D = (-4, 3).$ Niech $A_1B_1C_1D_1$ będzie obrazem czworokąta $ABCD$ w symetrii osiowej względem osi $OY.$ Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów $ABCD \text{ i } A_1B_1C_1D_1$

Dany jest trójkąt OAB, gdzie $A = (4, 0),$ $B = (0, 4),$ $O = (0, 0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB,$ $B_1$ obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ \text{i } $\text{i }O_1$ obrazem punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

Środkiem symetrii kwadratu jest punkt $(0, 0),$ a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(4, 2).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD.$ Niech $r_1$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC,$ $r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $BDC,$ $r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC,$ $\text {zaś }h = |CD|.$ Udowodnij, że $r_1 + r_2 + r = h.$

Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC,$ jeśli $|BH| - |HA| = |AC|,$ gdzie odcinek $CH$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$

W czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $B\text{ i } D$ są proste oraz $|AB| = |BC|.$ Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka $B$ od prostej $AD$ $\text{jest równa }h.$

Niech $a_n$ będzie długością boku $n$-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $R.$ Uzasadnij, że $a^2_{2n}=2R^2-2R\cdot \sqrt{R^2-\frac{1}{4}\cdot a^2_{n}}$ .