LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005


Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
2. Wielokąty foremne.
3. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt.
4. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
Dane są punkty A = (-4; 2), B = (2; 2), C = (2; -4). Niech A1, B1, C1 będą odpowiednio obrazami punktów A, B, C w symetrii względem osi X. Obliczyć obwód i pole figury:
  1. będącej częścią wspólną trójkątów ABC i A1B1C1,
  2. będącej sumą (złączeniem trójkątów ABC i A1B1C1.
Rozwiązanie Pauliny Bały

Zadanie 2
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (-1, ; -1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (-5; -1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Zadanie 3
Wyznaczyć pole o obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu wpisanego wynosi 8 cm, a długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 20 cm.

Zadanie 4
Wyznaczyć pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki mają długości 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch, 1, pierwiastek z dwóch w podanej kolejności.

Rozwiązanie Roberta Chrzanowskiego

Zadanie 5
Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 16 i 9. Obliczyć pole i obwód tego trójkąta.


Zadanie 6
W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AM i BN. Ponadto punkt P jest środkiem boku AB oraz |ĐACB| = 60°. Udowodnić, że trójkąt MNP jest równoboczny.

Zadanie 7
Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu r.

Zadanie 8
Dany jest trójkąt równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię jest długości 15 cm. Obliczyć odległość między środkami okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 9
W rombie ABCD dane są wierzchołki A = (-1; 3) i C = (-1, 5). Wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i D wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Zadanie 10
Czy zbiór {(1; 1), (5; 1), (1; ,5)} ma osie symetrii? Jeśli tak, to wyznacz równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii? Wyznacz współrzędne wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.

Rozwiązanie Magdy Jastrzembskiej

Zadanie 11
Wierzchołkami czworokąta ABCD są punkty A = (-4; 0), B = (6; 0), C = (2; 3) i D = (-4; 3). Niech A1B1C1D1 będzie obrazem czworokąta ABCD w symetrii osiowej względem osi OY. Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów ABCD i A1B1C1D1

Zadanie 12
Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (4; 0), B = (0; 4), O = (0; 0). Niech A1 będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B1 obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O1 obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O1A1B1.

Zadanie 13
Środkiem symetrii kwadratu jest punkt (0; 0), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (4; 2). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Rozwiązanie Mateusza Kierlańczyka

Zadanie 14
Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki maja współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Zadanie 15
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 16
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Niech r1 będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r2 - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BDC, r -  promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś h = |CD|. Udowodnij, że r1 + r2 + r = h.

Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 17
Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.

Rozwiązanie Basi Magrzyk

Zadanie 18
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli |BH| - |HA| = |AC|, gdzie odcinek CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.

Zadanie 19
W czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D są proste oraz |AB| = |BC|. Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka B od prostej AD jest równa h.

Zadanie 20
Niech an będzie długością boku n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R.
Uzasadnij, że  .