Liga zadaniowa UMK 2003/04

Zadanie 7

Ile istnieje trzycyfrowych liczb, przy zapisie których użyto tylko raz cyfry 5?

Rozwiązanie

Weźmy początkowe liczby trzycyfrowe, w których jedyna cyfra 5 stoi na końcu:

105,115,125,135,145,165,175,185,195. (Pomijamy 155.)

Są to liczby od 100 do 200, gdzie cyfra 5 pojawia się na końcu. Wypiszmy wszystkie takie przedziały:

100-200, 200-300, 300-400, 400-500, 600-700, 700-800, 800-900, 900-1000

(Pominęliśmy oczywiście przedział liczb 500-600, gdzie cyfra 5 występuje na początku)

Teraz mnożymy ilość tych przedziałów (8) przez ilość liczb z cyfrą pięć na końcu (9) i otrzymujemy:

8×9=72

Mamy już ilość wszystkich liczb trzycyfrowych, gdzie cyfra 5 stoi na końcu.

A teraz postawmy piątkę w środku:

Również i tu wykorzystamy identyczne przedziały. Teraz jednak liczby będą wyglądały następująco:

150, 151, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 159. (Pomijamy 155.)

Znowu mnożymy ilość liczb (9) przez ilość przedziałów (8) i otrzymujemy:

8*9=72

I w końcu stawiamy piątkę na początku. Wybierzmy tutaj takie przedziały:

500-510, 510-520, 520-530, 530-540, 540-550, 560-570, 570-580, 580-590, 590-600

a w przedziałach takie liczby:

500, 501, 502, 503, 504, 506, 507, 508, 509. (Pomijamy 505.)

Mnożymy liczbę przedziałów (9) przez przez ilość liczb (9) i mamy:

9*9=81

Teraz dodajemy ilość liczb z 5 na końcu (72) do ilości liczb z 5 w środku (72) i do ilości liczb z 5 na początku (81) i mamy:

72+72+81=225

I TO JEST ILOŚĆ LICZB TRZYCYFROWYCH, GDZIE CYFRA 5 WYSTĘPUJE JEDEN RAZ!!!

Mateusz Gołaszewski