Zadanie 1
Wyznacz liczbę dzielników naturalnych liczby $2^5+2^4\cdot 3^3+2^2\cdot3^2.$
Zadanie 2
Zbadaj, który z ułamków jest większy: $\frac{39}{158}$ 3 czy 0,24(5)?
Zadanie 3
Oblicz $\frac{0,5+\frac{1}{4}+0,1(6)+0,125}{0,(3)+0,4+\frac{14}{15}}+\frac{(3,75-0,625)\cdot\frac{48}{125}}{12,8\cdot 0,25}.$
Zadanie 4
Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną,
dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki
na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 60%.
O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie domu?
Zadanie 5
Wyznacz sumę $\frac{1}{11\cdot 22}+\frac{1}{22\cdot 33}+\frac{1}{33\cdot 44}+\text{...}+\frac{1}{1991\cdot2002}.$
Zadanie 6
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe mające zapis dziesiętny $\overline{abcde},$ które są podzielne przez 36 i dla których $a\lt b\lt c\lt d\lt e.$
Zadanie 7
Ile istnieje trzycyfrowych liczb przy zapisie których użyto tylko raz cyfry 5?
Zadanie 8
2002 jest liczbą palindromiczną tzn., że czytana z lewej strony do prawej i odwrotnie z prawej do lewej jest tą samą liczbą. Poprzednią liczbą palindromiczną jest 1991. Jaka jest maksymalna odległość pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami palindromicznymi zawartymi wśród liczb od 1000 do 9999?
Zadanie 9
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną, to ułamek $\frac{n^2+2n-1}{n^2+2n}$ jest nieskracalny.
Zadanie 10
W przykładzie zapisanym na tablicy klasowy dowcipniś zmienił dwie cyfry i otrzymano zapis: $4\cdot 5\cdot 4\cdot 5\cdot 4 = 2247.$ Odtwórz pierwotny zapis.
Zadanie 11
Czy wśród liczb od 1 do 2002 włącznie więcej jest liczb podzielnych przez 3, czy też liczb, które dzielą się przez 4 lub przez 5?
Zadanie 12
Buty kosztujące 100 zł przeceniono o 20%. Po miesiącu, w związku z sezonową obniżką cen, wszystkie ceny zmniejszono o 20%, a po kolejnym miesiącu dokonano następnej przeceny i wtedy buty kosztowały 60 zł. O ile procent była ostatnia obniżka?
Zadanie 13
Czy można znaleźć 55 różnych liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?
Zadanie 14
Wyznacz liczbę dzielników naturalnych liczby $6^5+2^4\cdot 3^6+2^6\cdot3^4.$
Zadanie 15
Zbadaj, który z ułamków jest większy: $\frac{37}{136}$ 3 czy 0,2(740)?
Zadanie 16
W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2002 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup i jaki wielokąt jest jego podstawą?
Zadanie 17
Oblicz:
- $\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{10\cdot11}$,
- $\frac{959\cdot 654654}{327\cdot 137137+137\cdot 327327},$
- $\left(1+\frac{2}{3}\right) \cdot \left(1+\frac{2}{5}\right) \cdot \text{...}\cdot \left(1+\frac{2}{2005}\right).$
Zadanie 18
Czy liczba $66...6,$ w której cyfra 6 powtarza się 2002 razy, jest kwadratem liczby naturalnej?
Zadanie 19
Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą naturalną, to ułamek $\frac{n^2+n-1}{n^2+2n}$ jest nieskracalny.
Zadanie 20
Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?
Zadanie 21
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze $p,$ dla których liczba $p^{p+1} + 2$ jest liczbą pierwszą.
Zadanie 22
Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?
Zadanie 23
Wyznaczyć 2002 cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby $\frac{7}{13}.$
Zadanie 24
Każdy z następujących ułamków przedstaw w postaci ułamka zwykłego.
(a) 0,7(3) (b) 0,(134) (c) 0,22(13) (d) 0,(2002) (e) 0,123(144)
(a) 0,7(3) (b) 0,(134) (c) 0,22(13) (d) 0,(2002) (e) 0,123(144)
Zadanie 25
W pewnej klasie dziewczęta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba i wówczas dziewczęta stanowiły 64% liczby uczniów. Ilu chłopców jest w tej klasie?
Zadanie 26
Dwa prostopadłościenne pudełka mają równe objętości.
Jedno z nich ma 1,2 dm wysokości i pole podstawy wynoszące 4,8 m2.
Obliczyć wysokość drugiego pudełka, jeżeli jego pole postawy jest równe 3,6 dm2.
Zadanie 27
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 101?
Zadanie 28
Oblicz $\left(17\frac{3535}{88375}-16\frac{1001}{1365}\right)\cdot 3\frac{6}{23}+3\frac{6}{23}:\left(5-1\frac{187}{253}\right).$
Zadanie 29
Mydło w kształcie prostopadłościanu po pewnym czasie zmniejszyło swoje wymiary do połowy. Ile razy większą objętość miało to mydło przed zmydleniem?
Zadanie 30
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 76,8 cm. Oblicz objętość tego sześcianu.
Zadanie 31
Na giełdzie jedna akcja przedsiębiorstwa SPADEK miała wartość 300 zł. W pierwszej połowie roku cena spadła o 10%, w drugiej wzrosła o 10%. Ile złotych obecnie trzeba zapłacić za 100 akcji tego przedsiębiorstwa?
Zadanie 32
Na konto pana Zbyszka wpłynęła jego pensja netto w wysokości 2000 zł. Podatek i inne obciążenia były równe 48% pensji brutto. Ile złotych brutto zarabia pan Zbyszek?
Zadanie 33
Połowa zadań to zadania trudne, a połowa zadań to zadania nudne. Ile procent zadań trudnych stanowią zadania nudne,
jeśli co trzecie z zadań nudnych to zadanie trudne?
Zadanie 34
Bogacz posiadając 100 000 złotych, aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę, dał biedakowi 100 złotych. O ile procent zbiedniał bogacz? O ile procent wzbogacił się biedak?
Zadanie 35
Księgarnia płaci wydawnictwu 80% ceny wydrukowanej na okładce, a sprzedaje ją po cenie wydrukowanej na okładce książki. Ile procent wynosi zysk księgarni?
Zadanie 36
Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, w których suma dwóch dowolnie wybranych cyfr dzieli się przez trzecią cyfrę. (Liczbami o tej własności są na przykład 111 i 963.)
Zadanie 37
Napisano dwa razy z rzędu tę samą liczbę trzycyfrową i otrzymano liczbę sześciocyfrową. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez 7, 11 oraz 13.
Zadanie 38
Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 2002 niepodzielnych ani przez 5 ani przez 11?
Zadanie 39
Uzasadnij, że w zapisie równości $1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \text{...} + 99\cdot 100 = 20002001$ popełniono pomyłkę.
Zadanie 40
Czy można kwadrat o wymiarach $25 \times 25$ rozciąć na prostokąty o wymiarach $1 \times 2?$
Uwaga. Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książce "Liga Zadaniowa" na stronach 25-29 oraz 15-18.