LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004

Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka:
1. Działania na liczbach wymiernych.
2. Podzielność liczb naturalnych i całkowitych.
3. Obliczenia procentowe.
4. Graniastosłupy.
Zadanie 1
Wyznacz liczbę dzielników liczby 25 + 24 × 33 + 22 × 32.

Rozwiązanie Pauliny Bała

Zadanie 2
Zbadaj, który z ułamków jest większy: 39/158 czy 0,24(5) ?

Rozwiązanie Przemka Buczkowskiego

Zadanie 3
Oblicz   .

Rozwiązanie Jacka Bułatka

Zadanie 4
Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 60%. O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie domu?

Rozwiązanie Roberta Chrzanowskiego

Zadanie 5
Wyznacz sumę:   .

Rozwiązanie Mikołaja Chyły

Zadanie 6
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe mające zapis dziesiętny abcde, które dzielą się przez 36 i dla których a<b<c<d<e.

Rozwiązanie Radka Dąbrowskiego

Zadanie 7
Ile istnieje trzycyfrowych liczb przy zapisie których użyto tylko raz cyfry 5?

Rozwiązanie Mateusza Gołaszewskiego

Zadanie 8
2002 jest liczbą palindromiczną tzn., że czytana z lewej strony do prawej i odwrotnie z prawej do lewej jest tą samą liczbą. Poprzednią liczbą palindromiczną jest 1991. Jaka jest maksymalna odległość pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami palindromicznymi zawartymi wśród liczb od 1000 do 9999?

Rozwiązanie Oskara Górniewicza

Zadanie 9
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to ułamek (n×n+2n-1)/(n×n+2n) jest nieskracalny.

Rozwiązanie Mateusza Grąckiego

Zadanie 10
W przykładzie zapisanym na tablicy klasowy dowcipniś zmienił dwie cyfry i otrzymano zapis: 4 × 5 × 4 × 5 × 4 = 2247.
Odtwórz pierwotny zapis.

Zadanie 11
Czy wśród liczb od 1 do 2002 włącznie więcej jest liczb podzielnych przez 3, czy też liczb, które dzielą się przez 4 lub przez 5?

Rozwiązanie Kasi Jędrzejczyk

Zadanie 12
Buty kosztujące 100zł przeceniono o 20%. Po miesiącu, w związku z sezonową obniżką cen, wszystkie ceny zmniejszono o 20 %, a po kolejnym miesiącu dokonano następnej przeceny i wtedy buty kosztowały 60 zł. O ile procent była ostatnia obniżka?

Rozwiązanie Michała Kanigowskiego

Zadanie 13
Czy można znaleźć 55 różnych liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Rozwiązanie Mateusza Kozłowskiego

Zadanie 14
Wyznacz liczbę dzielników liczby  65 + 24 × 36 + 26 × 34.

Rozwiązanie Łukasza Łenskiego

Zadanie 15
Zbadaj, który z ułamków jest większy: 37/136 czy 0,2(740) ?

Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 16
W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2002 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup i jaki wielokąt jest jego podstawą?

Rozwiązanie Basi Magrzyk

Zadanie 17
Oblicz:
  1.  ,

  2.  ,

  3.  .
Rozwiązanie Ani Marchwińskiej

Zadanie 18
Czy liczba 66...6, w której cyfra 6 powtarza się razy 2002 jest kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 19
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to ułamek (n×n+n-1)/(n×n+2n) jest nieskracalny.

Rozwiązanie Jakuba Nasierowskiego

Zadanie 20
Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

Rozwiązanie Eweliny Rudnickiej

Zadanie 21
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba pp+1 + 2 jest liczbą pierwszą.

Zadanie 22
Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

Zadanie 23
Wyznaczyć 2003 cyfrę po przecinku liczby 7/13.

Rozwiązanie Mariusza Szulca

Zadanie 24
Każdy z następujących ułamków przedstaw w postaci ułamka zwykłego:
a)0,7(3) b)0,(134) c)0,22(13) d)0,(2003) e)0,123(114)

Rozwiązanie Mikołaja Szymańskiego

Zadanie 25
W pewnej klasie dziewczęta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba i wówczas dziewczęta stanowiły 64% liczby uczniów. Ilu chłopców jest w tej klasie?

Rozwiązanie Ani Szyntar

Zadanie 26
Dwa prostopadłościenne pudełka mają równe objętości. Jedno z nich ma 1,2 dm wysokości i pole podstawy wynoszące 4,8 dm2. Obliczyć wysokość drugiego pudełka, jeżeli pole jego postawy jest równe 3,6 dm2.

Rozwiązanie Marcina Ślusarkiewicza

Zadanie 27
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 101?

Rozwiązanie Pawła Świokło

Zadanie 28
Oblicz: .

Rozwiązanie Leszka Tatary

Zadanie 29
Parzysta czy nieparzysta jest liczba 1 + 2 + 3 + . . . + 2003 ?

Zadanie 30
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 76,8 cm. Oblicz objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie Ewy Wilmanowicz

Zadanie 31
Na giełdzie jedna akcja przedsiębiorstwa SPADEK miała wartość 300 zł. W pierwszej połowie roku cena spadła o 10%, w drugiej wzrosła o 10%. Ile złotych obecnie trzeba zapłacić za 100 akcji tego przedsiębiorstwa?

Rozwiązanie Hani Słupskiej

Zadanie 32
Na konto pana Zbyszka wpłynęła jego pensja netto w wysokości 2000 zł. Podatek i inne obciążenia były równe 48% pensji brutto. Ile złotych brutto zarabia pan Zbyszek?

Rozwiązanie Eweliny Rudnickiej

Rozwiązanie Mikołaja Szymańskiego

Zadanie 33
Połowa zadań to zadania trudne, a połowa zadań to zadania nudne. Ile procent zadań trudnych stanowią zadania nudne, jeśli co trzecie z zadań nudnych to zadanie trudne?

Zadanie 34
Bogacz posiadając 100 000 złotych, aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę, dał biedakowi 100 złotych. O ile procent zbiedniał bogacz? O ile procent wzbogacił się biedak?

Rozwiązanie Ewy Wilmanowicz

Zadanie 35
Księgarnia płaci wydawnictwu 80% ceny wydrukowanej na okładce, a sprzedaje ją po cenie wydrukowanej na okładce książki. Ile procent wynosi zysk księgarni?

Zadanie 36
Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, w których suma dwóch dowolnie wybranych cyfr dzieli się przez trzecią cyfrę. (Liczbami o tej własności są na przykład 111 i 963.)

Zadanie 37
Napisano dwa razy z rzędu tę samą liczbę trzycyfrową i otrzymano liczbę sześciocyfrową. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez 7, 11 oraz 13.

Zadanie 38
Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 2002 niepodzielnych ani przez 5 ani przez 11?

Zadanie 39
Uzasadnij, że w zapisie równości 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + . . . + 99 × 100 = 20002001 popełniono pomyłkę.

Rozwiązanie Mateusza Grąckiego

Zadanie 40
Można kwadrat o wymiarach 25 × 25 rozciąć na prostokąty o wymiarach 1 × 2 ?