LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 13

Czy można znaleźć 55 różnych liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Rozwiązanie:

Wszystkich liczb dwucyfrowych od 10 do 99 jest 90.
Chcąc wybrać zestaw liczb spełniających warunek zadania, musielibyśmy dla każdej pary liczb dających w sumie 100, odrzucić jedną z nich np.:
  1. Jeśli wybierzemy 10, to musimy odrzucić 90, bo 10 + 90 = 100
    i na odwrót: jeśli wybierzemy 90, to musimy odrzucić 10.
  2. Jeśli wybierzemy 11, to musimy odrzucić 89, bo 11 + 89 = 100
    i na odwrót: jeśli wybierzemy 89, to musimy odrzucić 11.
I tak dalej ...
  1. Jeśli wybierzemy 48, to musimy odrzucić 52, bo 48 + 52 = 100
    i na odwrót: jeśli wybierzemy 52, to musimy odrzucić 48.
  2. Jeśli wybierzemy 49, to musimy odrzucić 51, bo 49 + 51 = 100
    i na odwrót: jeśli wybierzemy 51, to musimy odrzucić 49.
Widzimy więc, że spośród 90 dwucyfrowych liczb musimy odrzucić przynajmniej 49 liczb. Do wyboru mamy więc tylko 51 liczb, a to za mało, bo miało ich 55.

Odpowiedź: Nie można.

Mateusz Kozłowski 1a