LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 9

Uzasadnij, że ułamek    jest nieskracalny.

Rozwiązanie

Ułamek można skrócić tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika.
Ułamek jest skracalny, jeśli licznik i mianownik mają jakiś wspólny dzielnik naturalny większy niż 1. 
  1. Jeśli licznik n2 + 2n + 1 i mianownik n2 + 2n dzielą się przez wspólną liczbę naturalną d, to ich różnica też dzieli się przez d.

  2. (n2 + 2n + 1) - (n2 + 2n) = 1, więc 1 dzieli się przez d.

  3. Ponieważ jedyną liczbą naturalną, przez którą dzieli się liczba 1 jest 1, więc d = 1. 
Wynika stąd, że podany ułamek jest nieskracalny.

Mateusz Grącki