LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I 
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 20

Wiemy, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczb± złożon±. Jakie liczby mog± być takimi resztami?

Rozwi±zanie:

Niech p oznacza liczbę pierwsz± większ± niż 21.

Resztami z dzielenia przez 21 mog± być tylko liczby mniejsze niż 21. Ponieważ maj± być to liczby złożone, więc nie mog± to być liczby:

Pozostaj± do dyspozycji następuj±ce liczby jako reszty:

Niech p = 21·n + r, gdzie n jest pewna liczb± naturaln±, a r jest reszt± z dzielenia p przez 21.

W¶ród tych liczb nie mog± występować liczby złożone, które maj± wspólne dzielniki z 21:
  1. Dla r = 9:

    p = 21·n + 9 = 3·(7n + 3) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  2. Dla r = 12:

    p = 21·n + 12 = 3·(7n + 4) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  3. Dla r = 14:

    p = 21·n + 14 = 7·(3n + 2) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 7.

  4. Dla r = 15:

    p = 21·n + 15 = 3·(3n + 5) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  5. Dla r = 18:

    p = 21·n + 18 = 3·(3n + 6) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

Należy więc jeszcze odrzucić jako reszty liczby 9, 12, 14, 15 i 18.

OdpowiedĽ:

Takimi resztami mog± być liczby: 4, 6, 8, 10, 16, 20.

Ewelina Rudnicka