LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I 
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 20

Wiemy, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

Rozwiązanie:

Niech p oznacza liczbę pierwszą większą niż 21.

Resztami z dzielenia przez 21 mogą być tylko liczby mniejsze niż 21. Ponieważ mają być to liczby złożone, więc nie mogą to być liczby:

Pozostają do dyspozycji następujące liczby jako reszty:

Niech p = 21·n + r, gdzie n jest pewna liczbą naturalną, a r jest resztą z dzielenia p przez 21.

Wśród tych liczb nie mogą występować liczby złożone, które mają wspólne dzielniki z 21:
  1. Dla r = 9:

    p = 21·n + 9 = 3·(7n + 3) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  2. Dla r = 12:

    p = 21·n + 12 = 3·(7n + 4) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  3. Dla r = 14:

    p = 21·n + 14 = 7·(3n + 2) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 7.

  4. Dla r = 15:

    p = 21·n + 15 = 3·(3n + 5) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

  5. Dla r = 18:

    p = 21·n + 18 = 3·(3n + 6) nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 3.

Należy więc jeszcze odrzucić jako reszty liczby 9, 12, 14, 15 i 18.

Odpowiedź:

Takimi resztami mogą być liczby: 4, 6, 8, 10, 16, 20.

Ewelina Rudnicka