LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 27
Czy istnieją dwie takie kolejne liczby naturalne, których suma cyfr jest podzielna 101?Rozwiązanie
Jeśli liczba naturalna nie kończy się na 9, to następnej liczbie ostatnia cyfra jest większa się o 1, a pozostałe pozostają takie same, więc suma cyfr zwiększa się tylko o 1. Na przykład:
Wynika stąd, że pierwsza liczba MUSI kończyć się na 9. Wtedy w następnej liczbie zamiast cyfry 9 pojawia się 0, a pierwsza od lewej strony zapisu dziesiętnego cyfra różna od 9 powiększa się o 1 i reszta cyfr pozostaje taka sama. To znaczy w następnej liczbie suma cyfr zmniejsza się o sumę końcowych dziewiątek z poprzedniej liczby i powiększa o 1 czyli ostatecznie się zmniejsza.
Na przykład: 12345999 + 1 = 12346000. (Suma cyfr zmniejszyła się o sumę trzech dziewiątek i zwiększyła o 1.)
Jeśli obie liczby mają mieć sumę cyfr podzielną przez 101, to suma cyfr musi zmniejszyć się o wielokrotność liczby 101. Zauważyłem więc, że suma końcowych dziewiątek pierwszej z liczb musi być większa o 1 od wielokrotności liczby 101. Taki warunek spełnia dopiero liczba kończąca się ciągiem 45 dziewiątek. 45×9 = 405 = 4×101 + 1. Jeśli początkowe cyfry przed tym ciągiem dziewiątek dają w sumie 100, to suma cyfr tej liczby wynosi 100 + 405 = 505 = 5 × 101, a następna liczba ma sumę cyfr równą 101.
Przykładowym rozwiązaniem mogą być liczby:
9999999998299...9 (10 dziewiątek, jedna ósemka, jedna dwójka i 45 dziewiątek)
9999999998300...0 (10 dziewiątek, jedna ósemka, jedna trójka i 45 zer)
Paweł Świokło