LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

ZADANIE 10

Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba

jest podzielna przez 64.

Rozwiązanie
  1. Doprowadźmy to równanie do postaci (a+b)2:

  2. Z założenia, że n jest liczbą nieparzystą wynika, że n = 2k + 1 gdzie k jest liczbą całkowitą. Wobec tego:

    Któraś z liczb k lub k+1 jest parzysta, bo to są dwie kolejne liczby całkowite, a więc k(k+1) jest na pewno liczbą parzystą. Stąd:
    4k(k+1) dzieli się przez 8,
    4k(k+1)= 8l gdzie l jest liczbą całkowitą.

  3. Ostatecznie:


Rozwiązała Magdalena Jastrzembska.