LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005


Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
1. Działania na potęgach i pierwiastkach.
2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.
Zadanie 1
Oblicz:

Rozwiązanie Pauliny Bały

Zadanie 2
Oblicz:

Zadanie 3
Uzasadnić, że  5n + 5n+1 + 5n+2  jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Zadanie 4
Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby: 2800, 5300, 8250, 9225, 16180.

Zadanie 5
Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Rozwiązanie Mikołaja Chyły

Zadanie 6
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Zadanie 7
Oblicz:
  1. ,

  2. .
Rozwiązanie Mateusza Gołaszewskiego

Zadanie 8
Oblicz:
  1.  ,

  2.  ,

  3.  .
Zadanie 9
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę, jest podzielny przez 6.

Rozwiązanie Mateusza Grąckiego

Zadanie 10
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n4 + 7× (7 + 2n2) jest podzielna przez 64.

Rozwiązanie Magdy Jastrzembskiej

Zadanie 11
Sprawdź, że jeśli n jest liczba pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2 - 1 jest podzielna przez 24.

Rozwiązanie Kasi Jędrzejczyk

Zadanie 12
Porównaj liczby:



Zadanie 13
Sprawdź czy prawdziwe są równości:
  1. ,
  2. .
Rozwiązanie Mateusza Kierlańczyka

Zadanie 14
Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Rozwiązanie Mateusza Kozlowskiego

Zadanie 15
Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Zadanie 16
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 17
Wyznaczyć  liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.