Zadania przygotowawcze
do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum

Uzasadnić, że $5^n+5^{n+1}+5^{n+2}$ jes liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n.$

Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby: $2^{800},\; 5^{300},\; 8^{250},\; 9^{225}.$

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Oblicz:

1. $\frac{10^{42}\cdot 7^{41}-10\cdot 5^{43}\cdot 14^{40}}{2^{42}\cdot 35^{40}+10^{40}\cdot 7^{41}}.$
2. $ \frac{5\cdot4^{15}\cdot 9^{9}-4\cdot 3^{20}\cdot 8^{9}}{5\cdot 2^{28}\cdot 6^{19}-7\cdot 2^{29}\cdot 27^{6}}.$

Oblicz:

1. $\frac{\sqrt[4]{7\cdot \sqrt[3]{54}+15\cdot \sqrt[3]{128}}}{\sqrt[3]{4\cdot \sqrt[4]{32}}+\sqrt[3]{9\cdot \sqrt[4]{162}}}.$
2. $2\cdot \sqrt{160\cdot \sqrt{12}}+3\cdot \sqrt{20\cdot \sqrt{48}}-4\sqrt[4]{75}-4\cdot \sqrt{60\cdot \sqrt{27}}$
3. $5\cdot \sqrt[3]{6\cdot \sqrt{32}}-\sqrt[3]{9 \cdot\sqrt{162}}-\sqrt[6]{18}+2\cdot \sqrt[3]{75\cdot \sqrt{50}}.$

Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę, jest podzielny przez 6.

Uzasadnij, że jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $n^4 + 7(7 + 2n^2)$ jest podzielna przez 64.

Porównaj liczby:

1. $\sqrt{2000}+\sqrt{2002} \text{ oraz }\sqrt{2001},$
2. $\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5} \text{ oraz }\sqrt[3]{32}.$

Sprawdź czy prawdziwe są równości:

1. $\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{50},$
2. $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{16}.$

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile  babcia miała  wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Wyznaczyć liczby pierwsze $p$, dla których liczba $2^p + 1$ jest podzielna przez 9.