Tytuł

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 16.

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr jedności i setek.

Rozwiązanie:

Oznaczam cyfrę setek przez a, dziesiątek przez b i jedności przez c
      ___
1.   abc Î P
2.   a+b=c
3.   a ą 0                                               ___
      b ą 0 gdyż a+b=a, a cyfry w liczbie abc nie mogą się powtarzać
4.   c nie może być liczbą parzystą, ponieważ cała liczba dzieliłaby się napewno przez 2
5.   W takim razie a+b będzie liczba nieparzystą, więc kiedy a będzie parzyste to b nie i na odwrót
6.   c ą 0 i c ą 5, ponieważ wtedy cała liczba będzie się dzielić przez 5 a+b ą 5
7.   a+b+c nie może być podzielne przez 3, gdyż wtedy cała liczba też dzieliłaby się przez 3
8.   a+b Ł 9 , gdyż c byłoby 2-cyfrowe
9.   a ą b , a ą c i b ą c  - cala liczba nie może posiadać takich samych cyfr

                          ___
Oznaczam liczbę abc przez x

I przypadek:    a=1

Skoro a jest nieparzyste to b musi być parzyste. W takim razie
bÎ{2,4,6,8}.
b ą 2 ponieważ liczba x=123 byłaby podzielna przez 3
b ą 4 ponieważ liczba x=145 byłaby podzielna przez 5
b może być równe 6 gdyż wtedy liczba x=167 spełnia warunki zadania
b ą 8 ponieważ liczba x=189 byłaby podzielna przez 3

II przypadek a=2

Skoro a jest parzyste to b musi być nieparzyste. W takim razie
bÎ{1,3,5,7,9}.
b ą 1 ponieważ liczba x=213 byłaby podzielna przez 3
b ą 3 ponieważ liczba x=235 byłaby podzielna przez 5
b może być równe 5, gdyż wtedy liczba x=257 spełnia warunki zadania
b ą 7 ponieważ wtedy liczba x=279 byłaby podzielna przez 3

III przypadek a=3

Skoro a=3 to bÎ{2,4,6,8}
b ą 2 ponieważ liczba x=325 byłaby podzielna przez 5
b może być równe 4, gdyż wtedy liczba x=345 spełnia warunki zadania
b ą 6 ponieważ wtedy liczba x=369 byłaby podzielna przez 3
b ą 8 ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

IV przypadek a=4

Skoro a=4 to bÎ{1,3,5,7,9}
b ą 1 ponieważ liczba x=425 byłaby podzielna przez 5
b może być równe 3, gdyż wtedy liczba x=437 spełnia warunki zadania
b ą 5 ponieważ wtedy liczba x=459 byłaby podzielna przez 3
b Ď{7,9}ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

V przypadek a=5

Skoro a=5 to bÎ{2,4,6,8}
b może być równe 2, gdyż wtedy liczba x=527 spełnia warunki zadania
b ą 4 ponieważ wtedy liczba x=549 byłaby podzielna przez 3
b Ď {6,8} ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

VI przypadek a=6

Skoro a=6 to bÎ{1,3,5,7,9}
b może być równe 1, gdyż wtedy liczba x=617 spełnia warunki zadania
b ą 3 ponieważ wtedy liczba x=639 byłaby podzielna przez 3
b Ď{5,7,9}ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

VII przypadek a=7

Skoro a=7 to bÎ{2,4,6,8}
b ą 2 ponieważ wtedy liczba x=729 byłaby podzielna przez 3
b Ď {4,6,8} ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

VIII przypadek a=8

Skoro a=8 to bÎ{1,3,5,7}
b ą 1 ponieważ wtedy liczba x=819 byłaby podzielna przez 3
b Ď {3,5,7} ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

IX przypadek a=9

Skoro a=9 to bĎ{2,4,6,8} ponieważ a+b wynosiłoby więcej niż 9

Odpowiedź: Liczby spełniające warunki zadania to: 167, 257, 347, 437, 527 i 617.

Ania Ługiewicz IIa