LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2003/2004
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM
Zadanie 15: Na okręgu o środku O zaznaczono punkty A, B i C tak, że kąt wpisany ABC ma miarę 40°, a kąt środkowy BOC ma miarę 160° (patrz rys.1). Oblicz miary kątów w trójkątach AOB, AOC, BOC (patrz rys.2). |
 |
| rys.1 |
rys.1 |
Rozwiązanie
Kąty w trójkącie OCA:
Wiemy, że kąt wpisany jest 2 razy mniejszy od kąta środkowego opartego na ty samym łuku.
x="2*40°
x="80°
Odcinki OA, OB i OC są promieniami okręgu i mają równą długość, więc trójkąty BOA, BCO i CAO są równoramienne, a kąty przy ich podstawach są równe.
Skoro kąt pełny ma 360° to
w+u="180°-80°
w+u="100°
w i u są kątami przy podstawie
w="u
w="100°:2
w="50°
u="100°:2
u="50°
Kąty w trójkącie BOA:
y="360°-(x+160°)
y="360°-(80°+160°)
y="360°-240°
y="120°
t+z="180°-120°
t+z="60°
t i z są katmi przy podstawie.
t="z
t="60°:2
t="30°
z="60°:2
z="30°
Kąty w trójkącie BCO:
s+r="180°-160°
s+r="20°
s i r są kątami przy podstawie.
s="r
s="20°:2
s="10°
r="20°:2
r="10°
Odpowiedź:
Kąt AOB ma 120°, kąt AOC ma 80°, kąt BOC ma 160°.
Anna Ługiewicz