Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum

Oblicz pole czworokąta ABCD, mając dane współrzędne punktów:

1. $A = (-1,-3)$, $B = (-4, 1)$, $C = ( 8, 6)$, $D = ( 6,-1)$;
2. $A = (-4,-2)$, $B = ( 3,-2)$, $C = ( 2, 2)$, $D = (-1, 4)$.

Dane są punkty: $(-2,-1)$, $( 4, 1)$, $( 0, 3)$. Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.

Uzupełnij kwadraty magiczne.

Zapisz i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, na którego podstawie można obliczyć kwotę spłaconych pieniędzy, jeśli mowa między dłużnikiem a wierzycielem zakłada, że pierwsze trzy raty będą jednakowej wysokości, a każda następna będzie równa połowie poprzedniej oraz, że wszystkich rat będzie 10.

Kasjerka, wprowadzając dwucyfrową cenę towaru, pomyliła kolejność cyfr.

1. Oblicz, o ile procent więcej musiałby zapłacić klient, gdyby cena towaru wynosiła 45 złotych.
2. Oblicz, o ile procent mniej zapłaciłby klient, gdyby cena towaru wynosiła 54 złote.
3. Zapisz dla obydwu wypadków wyrażenia, za pomocą których można obliczyć różnicę procentową kosztu.

Liczby $x$ i $y$ są dodatnie. Co jest większe: 130% sumy liczb $x$ i $y$ czy suma 130% liczby $x$ i 120% liczby $y$?

Na okręgu obrano kolejne punkty $A$, $B$, $C$, $D$, które podzieliły okrąg na cztery części w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary katów czworokąta $ABCD$.

Wszystkie wierzchołki czworokąta $ABCD$ leżą na okręgu, a przekątne czworokąta przecinają się w punkcie $S$ różnym od środka okręgu. Ile stopni ma kąt $ACD$ jeśli $|\angle DAB| = 80^{\circ}$, $|\angle BSC| = 110^{\circ}$, $|\angle ABC| = 80^{\circ}$?

Czy można narysować:

1. pięciokąt wypukły, który ma wszystkie kąty rozwarte?
2. pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre?
3. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty są rozwarte?
4. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa kąty są ostre?

Na okręgu o środku $O$ obrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C$ w ten sposób, że odcinek $AC$ jest średnicą okręgu. Następnie ze środka $O$ poprowadzono odcinki $OD$ i $OE$ prostopadłe do cięciw $AB$ i $BC$ w ten sposób, że punkt $D$ leży na cięciwie $AB$, a punkt $E$ leży na cięciwie $BC$.

1. Jakim czworokątem jest czworokąt $ABCD$?
2. Uzasadnij, że $|AD| = |DB|$ i $|BE| = |EC|$.

W każdym z wielokątów na rysunkach poniżej oblicz sumę miar kątów zaznaczonych łukami.

Punkty A = (3,4) i B = (3,10) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że:

1. trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek AB jest jego podstawą,
2. trójkąt ABC jest prostokątny,
3. druga współrzędna punktu C jest równa -3.

Na okręgu o środku $O$ oznaczono punkty $A$, $B$, $C$ tak, że kąt $ABC$ wpisany w ten okrąg ma miarę $40^{\circ}$, a kąt środkowy $BOC$ ma miarę $160^{\circ}.$ Oblicz miary kątów w trójkątach $AOB$, $AOC$, $BOC$.

Wierzchołki trójkąta o bokach 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 cm oraz 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu o środku leżącym na przeciwprostokątnej i stycznego do obu przyprostokątnych.

Wiedząc, że $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{2003}$ oblicz $\frac{b}{a+3b}.$

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest dziewięciokrotnie większe od pola kwadratu o boku długości 8 cm.