LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2003/2004

Zadania przygotowawcze do etapu II-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka:
1. Układ współrzędnych.
2. Kąty w kole.
3. Kąty wierzchołkowe i naprzemianległe, przyległe i odpowiadające.
4. Kąty zewnętrzne i wewnętrzne różnych trójkątów.
5. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
6. Pola wielokątów.
Zadanie 1
Oblicz pole czworokąta ABCD, mając dane współrzędne punktów:
  1. A = (-1,-3), B = (-4, 1), C = ( 8, 6), D = ( 6,-1);
  2. A = (-4,-2), B = ( 3,-2), C = ( 2, 2), D = (-1, 4).
Rozwiązanie Pauliny Bała

Zadanie 2
Dane są punkty: (-2,-1), ( 4, 1), ( 0, 3). Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach. Oblicz pola tych równoległoboków.

Zadanie 3
Uzupełnij kwadraty magiczne:

(a)
  4n2-2 3
  -n2  
     
(b)
-6    
  3a2-3  
-3a2    
(c)
     
  3n  
     


Zadanie 4
Zapisz i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, na którego podstawie można obliczyć kwotę spłaconych pieniędzy, jeśli mowa między dłużnikiem a wierzycielem zakłada, że pierwsze trzy raty będą jednakowej wysokości, a każda następna będzie równa połowie poprzedniej oraz, że wszystkich rat będzie 10.

Zadanie 5
Kasjerka, wprowadzając dwucyfrową cenę towaru, pomyliła kolejność cyfr.
  1. Oblicz, o ile procent więcej musiałby zapłacić klient, gdyby cena towaru wynosiła 45 złotych.
  2. Oblicz, o ile procent mniej zapłaciłby klient, gdyby cena towaru wynosiła 54 złote.
  3. Zapisz dla obydwu wypadków wyrażenia, za pomocą których można obliczyć różnicę procentową kosztu.


Zadanie 6
Jakie jest pole i obwód narysowanego wielokąta? Odpowiedź podaj w postaci jak najprostszego wyrażenia algebraicznego.

Rozwiązanie Radka Dąbrowskiego

Zadanie 7
Liczby x i y są dodatnie.
Co jest większe: 130% sumy liczb x i y czy suma 130% liczby x i 120% liczby y?

Rozwiązanie Mateusza Gołaszewskiego

Zadanie 8
Na okręgu obrano kolejne punkty A, B, C, D, które podzieliły okrąg na cztery części w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary katów czworokąta ABCD.

Rozwiązanie Przemka Buczkowskiego

Zadanie 9
Wszystkie wierzchołki czworokąta ABCD leżą na okręgu, a przekątne czworokąta przecinają się w punkcie S różnym od środka okręgu.
Ile stopni ma kąt ACD jeśli |ĐDAB| = 80°, |ĐBSC| = 110°, a |ĐABC| = 80°?

Zadanie 10
Czy można narysować:
  1. pięciokąt wypukły, który ma wszystkie kąty rozwarte?
  2. pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre?
  3. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty są rozwarte?
  4. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa kąty są ostre?

Zadanie 11
Dane są okrąg i dwa różne punkty A i B należące do tego okręgu. Na łuku AB obieramy dowolny punkt P różny od punktów A i B, a na pozostałej części okręgu - dowolny punkt Q.
Uzasadnij, że suma kątów BPA i AQB jest kątem półpełnym.

Zadanie 12
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty A, B, C w ten sposób, że odcinek AC jest średnicą okręgu. Następnie ze środka O poprowadzono odcinki OD i OE prostopadłe do cięciw AB i BC w ten sposób, że punkt D leży na cięciwie AB, a punkt E leży na cięciwie BC.
  1. Jakim czworokątem jest czworokąt ABCD?
  2. Uzasadnij, że |AD| = |DB| i |BE| = |EC|.

Zadanie 13
W każdym z wielokątów na rysunkach poniżej oblicz sumę miar kątów zaznaczonych łukami.

(a) (b) (c)



Zadanie 14
Punkty A = (3,4) i B = (3,10) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że:
  1. trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek AB jest jego podstawą,
  2. trójkąt ABC jest prostokątny,
  3. druga współrzędna punktu C jest równa -3.

Zadanie 15
Na okręgu o środku O oznaczono punkty A, B, C tak, że kąt ABC wpisany w ten okrąg ma miarę 40°, a kąt środkowy BOC ma miarę 160°. Oblicz miary kątów w trójkątach AOB, AOC, BOC.
Rozwiązanie Ani Ługiewicz

Zadanie 16
Wierzchołki trójkąta o bokach 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 17
Na danym okręgu o środku O obieramy dwa różne punkty i prowadzimy przez te punkty styczne przecinające się w punkcie P. Jak należy obrać punkty A i B, aby:
  1. trójkąt ABP był równoboczny?
  2. czworokąt ABPO był kwadratem?
Zadanie 18
Oblicz miary kątów trójkąta AOB jeśli miara kąta ACB jest równa 42°.

Zadanie 19
Wyznacz miarę kąta b.

Zadanie 20
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku wiedząc, że 0 < x < 1.

Rozwiązanie Eweliny Rudnickiej

Zadanie 21
Wiedząc, że  oblicz .

Rozwiązanie Hani Słupskiej

Zadanie 22
Na rysunku punkty A, B, C, D, E dzielą okrąg na równe części. Oblicz miary kątów: CAD, CDE oraz  CFB.

Rozwiązanie Marcina Sokołowskiego