LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 16. Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2001 i 2002 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby n przez 33?
Rozwiązanie:
Liczba n - 118 dzieli się przez 2001 i przez 2002. Ponieważ NWD(2001, 2002) = 1 więc n - 118 dzieli się przez 2001 × 2002.
Ogólną postacią takiej liczby jest:
n = k × 2001 × 2002 + 118 gdzie k Î C
Rozłóżmy liczby 2001 i 2002 na czynniki pierwsze.
2001 = 3 × 667
2002 = 2 × 7 × 11 × 13
n = k × 3 × 667 × 2 × 7 × 11 × 13 + 118
n = k × 3 × 11 × 667 × 2 × 7 × 13 + 118
n = k × 33 × 667 × 2 × 7 × 13 + 118
Widzimy że iloczyn dzieli się przez 33.
Ponadto:
118 = 3 × 33 + 19
n = k × 33 × 667 × 2 × 7 × 13 + 3 × 33 + 19
n = k × 33 × (2 × 667 × 7 × 13 + 3) + 19
Odpowiedź: Reszta z dzielenia liczby n przez 33 jest 19.
Ania Ługiewicz IIa