|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005 |
Zadania przygotowawcze do etapu II-go
dla uczniów klas II gimnazjum
|
Tematyka:
1. Podzielność liczb całkowitych.
2. Pole i obwód koła.
3. Wyrażenia algebraiczne wraz ze wzorami skróconego mnożenia.
4. Działania na wyrażeniach algebraicznych.
|
| Zadanie 1 |
Oblicz:  .
|
Rozwiązanie Pauliny Bały
|
| Zadanie 2 |
 W kwadracie, na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 4 cm i środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zamalowanej figury. |
| Zadanie 3 |
Na każdym boku kwadratu jako na średnicy budujemy półkola do wnętrza kwadratu. Części wspólne par narysowanych okręgów tworzą "rozetkę". Oblicz pole i obwód rozetki, jeśli długość boku kwadratu jest równa 10 cm.
|
| Zadanie 4 |
Rozstrzygnąć, czy 214 + 58 jest liczbą złożoną.
|
| Zadanie 5 |
| Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenie:
|
| Zadanie 6 |
Zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dzielimy na dwa niepuste i rozłączne podzbiory tak, by iloczyn elementów pierwszego podzbiory był podzielny przez iloczyn elementów drugiego podzbioru (na przykład, I = {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, II = {2, 6, 10}). Dla każdego podziały obliczamy iloraz tych iloczynów. Jaką najmniejszą wartość może mieć taki iloraz?
|
| Zadanie 7 |
W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B i promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
|
Rozwiązanie Mateusza Gołaszewskiego
|
| Zadanie 8 |
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.
|
| Zadanie 9 |
| Przekształć do postaci możliwie najprostszej następujące wyrażenie: 
do postaci możliwie najprostszej.
Oblicz wartość tego wyrażenia dla a = -0,01 i b = 0,13.
|
| Zadanie 10 |
Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków nie więcej niż o 1 cm. Oblicz pole tego zbioru oraz długość jego brzegu.
|
Rozwiązanie Magdy Jastrzembskiej
|
| Zadanie 11 |
 Średnica AB dzieli koło o środku O na dwie części. Trójkąt ABC jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 16 cm i 12 cm. Na odcinkach AO i OB jako na średnicach skonstruowano półkoła leżące na zewnątrz trójkąta ABC (patrz rysunek). Oblicz pole i obwód zacieniowanego obszaru.
|
| Zadanie 12 |
Oblicz:
|
| Zadanie 13 |
| Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia:
|
Rozwiązanie 13a Mateusza Kierlańczyka
|
| Zadanie 14 |
Oblicz wartość wyrażenia (x + 1) × (x + 2) × (x + 3) × (x + 4)
dla 
|
| Zadanie 15 |
Udowodnij, że jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
|
| Zadanie 16 |
Pewna liczba naturalna n przy dzieleniu przez 2000 i przy dzieleniu przez 2001 daje tę samą resztę 118. Jaka jest reszta z dzielenia liczby n przez 33?
|
Rozwiązanie Ani Ługiewicz
|
| Zadanie 17 |
Uzasadnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba p4 - 1 jest podzielna przez 240.
|
| Zadanie 18 |
Uzasadnij, że sześcian liczby naturalnej pomniejszony o tę liczbę jest podzielny przez 6.
|
| Zadanie 19 |
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
|
Rozwiązanie Pauli Mazepy
|
| Zadanie 20 |
Brzeg kwadratu o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem punktów, z których każdy jest odległy od jednego z boków o nie więcej niż 1 cm. Oblicz długość brzegu tego otoczenia i pole tego otoczenia.
|