LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 19
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych
istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.
Rozwiązanie
Pośród 18 kolejnych trzycyfrowych liczb naturalnych są co najmniej dwie 2 liczby
podzielne przez 9, z których jedna jest postaci 9n natomiast druga 9(n+1) gdzie n jest pewną liczba naturalną. Ponieważ n i n+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z liczb 9n, 9(n+1) jest parzysta a jedna nieparzysta.
Podzielna przez 9 liczba parzysta na pewno dzieli się przez 18 , więc musi się dzielić przez sumę swoich cyfr,
bo z cechy podzielności przez 9 wynika suma jej cyfr wynosi albo 9 albo 18 ( nie może równać się 27, bo musiałaby by być równa 999 a to jest liczba nieparzysta).
Paula Mazepa