LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 5

Każdy z trzech chłopców ma pewną ilość monet. Pierwszy z nich dał pozostałym tyle monet ile każdy z nich posiadał. Następnie drugi, a potem trzeci z nich postąpił tak samo, tzn. dał dwóm pozostałym tyle monet ile każdy z nich miał aktualnie. W rezultacie okazało się, że na końcu mieli po 8 monet. Ile monet posiadał każdy chłopiec na początku?

Rozwiązanie 1

Na początku
x-początkowa liczba monet pierwszego chłopca
y-początkowa liczba monet drugiego chłopca
z-początkowa liczba monet trzeciego chłopca
Po pierwszym rozdaniu
x-y-z
2y
2z
Po drugim rozdaniu
2(x-y-z)
2y-(x-y-z)-2z
4z
Po trzecim rozdaniu
4(x-y-z) = 8
2(2y-(x-y-z)-2z) = 8
4z-2(x-y-z)-(2y-(x-y-z)-2z) = 8

Powyższe równania pokazują ile monet mieli chłopcy po poszczególnych wymianach.
Jako, że 4(x-y-z) = 8 to po podzieleniu obu stron równania przez 4 otrzymamy x-y-z = 2.
Jako, że 2(2y-(x-y-z)-2z) = 8 to po podzieleniu obu stron równania przez 2 otrzymamy 2y-(x-y-z)-2z = 4
4z-2(x-y-z)-(2y-(x-y-z)-2z) = 8
4z-4-4 = 8
4z-8 = 8     /+8
4z = 16      /:4
z = 4

2(2y-(x-y-z)-2z) = 8      /:2
2y-(x-y-z)-2z = 4
2y-2-8 = 4
2y-10 = 4      /+10
2y = 14      /:2
y = 7
Jako, że liczba wszystkich monet nie zmieniała się od początku do końca wymiany i wynosi 24 to x+y+z = 24
x+y+z = 24
x+7+4 = 24      /-11
x = 13
Odp. Pierwszy chłopiec miał na początku 13 monet, drugi 7, a trzeci 4.

Rozwiązanie 2 (od końca)

Chłopiec 1 Chłopiec 2 Chłopiec 3
Po trzecim rozdaniu
8 8 8
Po drugim rozdaniu
8:2 = 4 8:2 = 4 8 + 4 + 4 = 16
Po pierwszym rozdaniu
4 : 2 = 2 4 + 8 + 2 = 14 16:2 = 8
Na początku
2 + 7 + 4 = 13 14:2 = 7 8:2 = 4

Jakub Nasierowski