LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 5
Dzieląc pewną liczbę przez 3, 4, 5, 6, 7 otrzymujemy tę samą resztę równą 2.
a) Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności większą od 10.
b) Wyznacz najmniejszą liczbę o podanej własności, która jest ponadto podzielna przez 11.
Rozwiązanie a):
Iloczyn liczb 3, 4, 5, 6, 7 (równy 2520) jest na pewno przez nie podzielny, lecz nie musi, a raczej na pewno nie jest najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania. Nie jest tak, gdyż niektóre czynniki powtarzają się, aby to pokazać rozłożę liczby złożone - 4 i 6 na czynniki pierwsze.
4=2*2
6=2*3
Tak więc iloczyn 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 3 * 2 * 2 * 5 * 2 * 3 * 7. Widzimy, że jeśli pozbędziemy się jednej 2 i jednej 3 nadal z tych czynników będziemy mogli otrzymać 4 (2 * 2) i 6 (2 * 3), a liczba zmniejszy się, tworząc w ten sposób najmniejszą liczbę o podanej własności większą od 10.
Mówiąc prościej, najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest NWW(3,4,5,6,7) + 2.
NWW(3,4,5,6,7) + 2 = 420 + 2 = 422
Ta liczba to 422
Rozwiązanie b):
Samo 420 + 2 nie jest podzielne przez 11. Musimy, więc poszukać wśród liczb postaci 420k + 2 najmniejszej liczby będącej wielokrotnością liczby 11.
420k jest to wielokrotnośią NWW(3,4,5,6,7), k należy do zbioru liczb naturalnych.
Zauważmy, że:
420k + 2 = 418k + 2k + 2 = 11 * 38 * k + 2(k+1).
418 przedstawilem w postaci iloczynu 11 i 38. 2k i 2 zamieniłem na wyrażenie 2(k+1) wynosząc 2 przed nawias.
Widzimy, że najmniejszym k dla którego warunki zadania 5b) będą spełnione jest 10, gdyż wyrażanie 2(k+1) musi być wielokrotnością 11, aby liczba 420k + 2 była podzielna przez 11.
420 * 10 + 2 = 4202
Odpowiedź
Liczbą spełniającą warunki zadania 5a) jest liczba 422.
Liczbą spełniającą warunki zadania 5b) jest liczba 4202.
Autor: Mikołaj Szymański