LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA KONKURSOWE Z ETAPU I 
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 6

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 31?

Rozwiązanie

Przyjmuje dla owych kolejnych liczb naturalnych oznaczenia n oraz n + 1.

Aby suma cyfr liczby n była podzielna przez 31 to nie problem, z marszu można podać takich liczb wiele. Z kolejną liczbą może nie być tak łatwo. Na początku zakładam że n już spełnia warunki zadania.

Zasadniczo dodając do liczby jeden suma jej cyfr również zmienia się (rośnie) o jeden, czyli w tym przypadku od razy wykluczamy taką możliwość ponieważ suma cyfr podzielna przez 31 zwiększona o jeden z pewnością nie dzieli się przez 31.

Istnieje jednak inna możliwość: na końcu n stoi jakaś ilość dziewiątek. Wtedy dodając jeden "zamieniamy" wszystkie dziewiątki na zera a cyfrę stojącą przed nimi zwiększamy o jeden. Suma cyfr n + 1 w tym przypadku będzie zmniejszy od sumę tych dziewiątek i powiekszy o 1. Czyli ostatecznie zmniejszy się o 9x - 1, gdzie x oznacza liczbę dziewiątek na końcu tej liczby.

Jeśli więc uda nam się znaleźć takie x, żeby liczba 9x - 1 była podzielna przez 31 to suma cyfr liczby n + 1 będzie też podzielna przez 31.

Ten problem rozwiążemy za pomocą kongruencji. To czy 9x - 1 dzieli się przez 31 zależy od tego jaką reszte z dzielenia przez 31 daje liczba x. Chodzi o to aby

9x - 1 ş 0 (mod 31)

lub co na jedno wychodzi:

9x ş 1 (mod 31)

jeżeli:
x ş 0 (mod 31)
to:
9x ş 9*0 (mod 31) 		źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 1 (mod 31)
to:
9x ş 9*1 (mod 31)		 źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 2 (mod 31)
to:
9x ş 9*2 (mod 31)		 źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 3 (mod 31)
to:
9x ş 9*3 (mod 31)		 źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 4 (mod 31)
to:
9x ş 9*4 (mod 31)

a 36 ş 5 (mod 31)
więc (z przechodniości przystawania)
9x ş 5 (mod 31) 		źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 5 (mod 31)
to:
9x ş 9*5 (mod 31)
a 45 ş 14 (mod 31)
więc (z przechodniości przystawania)
9x ş 14 (mod 31) 		źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 6 (mod 31)
to:
9x ş 9*6 (mod 31)
a 54 ş 23 (mod 31)
więc (z przechodniości przystawania)
9x ş 23 (mod 31)		 źle, ponieważ 9x powinno przystawać do 1
jeżeli:
x ş 7 (mod 31)
to:
9x ş 9*7 (mod 31)
a 63 ş 1 (mod 31)
więc (z przechodniości przystawania)
9x ş 1 (mod 31)		 wreszcie jest 'ok': 9x przy dzieleniu przez 31 daje resztę równą 1
Sprawdziłam także wszystkie inne reszty do 30 ale nie znalazłam nowych możliwości.


Z faktu:
x ş 7 (mod 31)
wynika, że x przy dzieleniu przez 31 musi dawać resztę 7
czyli x = 31k + 7    gdzie kÎ C

Po podstawieniu 'iksa' wychodzi że każda liczba tej postaci spełnia warunki zadania

9x - 1 = 9×(31k + 7)- 1 = 9×31k + 62 = 31(9k + 2)

Odpowiedź

Jest nieskończenie wiele takich liczb.

Niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Jeśli liczba n ma na końcu 31k + 7 dziewiątek i na początku na przykład 30 jedynek (ogólnie 31×m + 30 jedynek), to liczba n + 1 ma na końcu 31k + 7 zer, a na początku 29 jedynek i jedną dwójkę (ogólnie 31×m + 29 i jedną dwójkę).

      n = 11...1199...9

n + 1 = 11...1200...0

Suma cyfr liczby n wynosi

30×1 + (31k + 7)×9 = 30 + 9×31k + 63 = 9×31k + 93 = 31(9k + 3)

Suma cyfr liczby n + 1 wynosi

29×1 + 1×2 + (31k + 7)×0 = 31


Ania Szyntar