LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 1a

Rozwiąż równania 2xy + 3y2 = 24 w liczbach całkowitych.

Rozwiązanie

Ponieważ x, y są liczbami całkowitymi jest to równanie diofantyczne.

2xy + 3y2 = 24

Wyniosę przed nawias czynnik y:

y(2x + 3y) = 24

Sprawdzę możliwe rozwiązania wśród liczb całkowitych dodatnich y i 2x + 3y:
  1. y = 1, 2x+3y = 24
    2x + 3 = 24
    2x = 21
    x = 10,5 (odrzucamy to rozwiązanie bo 10,5 nie jest liczbą całkowitą)

  2. y = 2, 2x + 3y = 12
    2x + 6 = 12
    2x = 6
    x = 3

  3. y = 3, 2x + 3y = 8
    2x + 9 = 8
    2x = -1
    x = -0,5 (odrzucamy to rozwiązanie bo 7,5 nie jest liczbą całkowitą)

  4. y = 4, 2x + 3y = 6
    2x + 12 = 6
    2x = -6
    x = -3

  5. y = 6, 2x + 3y = 4
    2x + 18 = 4
    2x = -14
    x = -7

  6. y = 8, 2x + 3y = 3
    2x + 24 = 3
    2x = -21
    x = -10,5 (odrzucamy to rozwiązanie bo -10,5 nie jest liczbą całkowitą)

  7. y = 12, 2x + 3y = 2
    2x + 36 = 2
    2x = -34
    x = -17

  8. y = 24, 2x + 3y = 1
    2x + 72 = 1
    2x = -71
    x = -30,5 (odrzucamy to rozwiązanie bo -30,5 nie jest liczbą całkowitą)

Łatwo zauważyć, że jeśli para (x,y) spełnia równanie 2xy + 3y2 = 24, to także para (-x, -y) też spełnia to równanie bo:

2(-x)(-y) + 3(-y)2 = 2xy + 3y2

A więc równanie to spełniają następujące pary liczb całkowitych:

(y  =  2 i x  =  3),
(y  =  4 i x  =  -3),
(y  =  6 i x  =  -7),
(y  =  12 i x  =  -17)

oraz pary liczb do nich przeciwnych, czyli:

(y = -2 i x = -3),
(y = -4 i x = 3),
(y = -6 i x = 7),
(y = -12 i x = 17).

Odpowiedź

Rozwiązaniem zadania są pary liczb:

x = 3 i y = 2 ,
x = -3 i y = 4,
x = -7 i y = 6,
x = -17 i y = 12,
x = -3 i y = -2,
x = 3 i y = -4,
x = 7 i y = -6,
x = 17 i y = -12.

Dominik Adamowicz