Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Rozwiąż równania w liczbach całkowitych:

1. $2xy + 3y^2 = 24,$
2. $x^2 - 3xy + 2y^2 = 7,$
3. $xy = 2003(x + y)$.

Rozwiąż równania i układy równań:

1. $|x - 1| + |x - 2| = 1$
2. $x^2 + 5y^2 + 4xy + 2y + 1 = 0.$
3. $\begin{cases} (x+y)(x+y+z)=72\\ (y+z)(x+y+z)=120\\ (z+x)(x+y+z)=96 \end{cases}$
4. $x^2 + xy + y^2 - 2x + 2y + 4 = 0$

Wyznacz wartości sum:

1. $\frac{666666\cdot666666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}-\frac{777777\cdot 777777}{1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1}.$
2. $6+66+666+\text{...}+\underbrace{666\text{...}6}_{\text{2006 cyfr}},$
3. $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}},$
4. $(1+\sqrt{a})\cdot (1+\sqrt[4]{a})\cdot (1+\sqrt[8]{a})\cdot (1+\sqrt[16]{a})\cdot (1+\sqrt[32]{a}) \text{ dla }a=2006.$

Czy zachodzą równości?

1. $\sqrt[6]{9+4\cdot\sqrt{5}}-\sqrt[6]{9-4\cdot\sqrt{5}}=1$
2. $\frac{2\cdot 2005}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\text{...}+\frac{1}{1+2+3+\text{...}+2005}}=2006$
3. $\underbrace{88\text{...}8}_{19}\cdot \underbrace{33\text{...}3}_{2006}= \underbrace{44\text{...}4}_{19}\cdot \underbrace{66\text{...}6}_{2006}$

W trójkącie $ABC$ dwusieczne $AD\text{ i } BE$ przecinają się pod kątem $125^{\circ}.$ Oblicz miarę kąta $ACB.$

Pewna liczba dziewięciocyfrowa ma w zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry oprócz zera. Po odpowiednim przestawieniu cyfr otrzymano liczbę 8 razy mniejszą. Wyznacz wszystkie liczby o powyższej własności.

Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ poprowadzono wysokości $AK\text{ i } BL.$ Udowodnić, że $|\angle LKC| = |\angle CAB| \text{ i } |\angle KLC| = |\angle CBA|.$

Niech $K,\; L,\; M,\; N$ będą odpowiednio środkami boków czworokąta wypukłego $ABCD.$ Udowodnić, że pole czworokąta $ABCD$ jest dwa razy większe od pola czworokąta $KLMN.$

Wyznaczyć pięć liczb tak, aby zbiór sum par tych liczb był równy $\{0,\; 2,\; 4,\; 5,\; 7,\; 9,\; 10,\; 12,\; 14,\; 17\}.$

Rozwiązać rebus (kryptoreklama): $\text{COLA + COLA = WODA}$.

Wyznaczyć miarę kąta $ABC$ w trójkącie $ABC$, w którym długość wysokości $CH$ jest równa $\frac{1}{2}|AB|$ $\text{oraz } |\angle BAC| = 75^{\circ}.$

Wyznaczyć $a^2 + b^2 + c^2,$ jeśli $a + b + c = 5$ $\text{i } ab + bc + ca = 5.$