LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006


Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum
na zakończenie konkursu 2005/2006
Zadanie 1
Rozwiąż równania w liczbach całkowitych:
  1. 2xy + 3y2 = 24
  2. x2 - 3xy + 2y2 = 7
  3. xy = 2003(x + y).
1a Rozwiązanie Dominika Adamowicza
1b Rozwiązanie Grzegorza Jóźwiaka
1c Rozwiązanie Joasi Karnowskiej

Zadanie 2
Rozwiąż równania i układy równań:
  1. |x - 1| + |x - 2| = 1
  2. x2 + 5y2 + 4xy + 2y + 1 = 0.
  4. x2 + xy + y2 - 2x + 2y + 4 = 0
2b Rozwiązanie Marty Kasprzak
2c Rozwiązanie Agaty Kwapisz
2d Rozwiązanie Jakuba Ładysza

Zadanie 3
Wyznacz wartości sum:




  4. dla a = 2006.
3a Rozwiązanie Ani Bernat

Zadanie 4
Czy zachodzą równości?




4c Rozwiązanie Martyny Polak

Zadanie 5
W trójkącie ABC dwusieczne AD i BE przecinają się pod kątem 125°. Oblicz miarę kąta ACB.

Rozwiązanie Olka Bolesławskiego

Zadanie 6
Pewna liczba dziewięciocyfrowa ma w zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry oprócz zera. Po odpowiednim przestawieniu cyfr otrzymano liczbę 8 razy mniejszą. Wyznacz wszystkie liczby o powyższej własności.

Zadanie 7
Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.

Rozwiązanie Moniki Chwiałkowskiej

Zadanie 8
W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AK i BL. Udowodnić, że |ĐLKC| = |ĐCAB| i |ĐKLC| = |ĐCBA|.

Rozwiązanie Bartka Góry

Zadanie 9
Niech K, L, M, N będą odpowiednio środkami boków czworokąta wypukłego ABCD. Udowodnić, że pole czworokąta ABCD jest dwa razy większe od pola czworokąta KLMN.

Rozwiązanie Amadeusza Grabca

Zadanie 10
Wyznaczyć pięć liczb tak, aby zbiór sum par tych liczb był równy {0, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 17}.

Zadanie 11
Rozwiązać rebus (kryptoreklama): COLA + COLA = WODA..

Rozwiązanie Małgosi Hapyn

Zadanie 12
Pokazać, że prostokąta o wymiarach 10×10 nie da się pokryć figurami złożonymi z czterech kwadratów jednostkowych i o kształcie przedstawionym na rysunku.

Rozwiązanie Artura Iwickiego

Zadanie 13
Wyznaczyć miarę kąta ABC w trójkącie ABC, w którym długość wysokości CH jest równa ½|AB| oraz |ĐBAC| = 75°.

Zadanie 14
Wyznaczyć a2 + b2 + c2, jeśli a + b + c = 5 i ab + bc + ca = 5.

Rozwiązanie Tomka Jankowskiego

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej
w roku 2005/2006 !