LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA NIESPODZIANKI
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 7

Rozwiązanie:

Na początku warto zauważyc, że dowolną liczbę trzycyfrową można zapisać w postaci:

x × 100 + y × 10 + z × 1 = 100x + 10y + z

Gdzie:

x oznacza cyfrę setek

y oznacza cyfrę dziesiątek

z oznacza cyfrę jedności

Wynika z tego, że sumę cyfr dowolnej liczby trzycyfrowej, możemy zapisać w postaci:

x + y + z

Zgodnie z poleceniem w zadaniu, od liczby trzycyfrowej odejmujemy sumę jej cyfr:

(100x + 10y + z) - (x + y + z)

(100x + 10y + z) - (x + y + z) = 100x + 10y + z - x - y - z = 99x + 9y

Widzimy, że otrzymana wartość jest liczbę podzielną przez 9 i jest nieujemna.

• Począwszy od drugiej operacji odejmujemy za każdym razem sumę cyfr liczby podzielnej przez 9.
  Liczba, która jest co najwyżej 3-cyfrowa i nie równa sie 999 i jest podzielna przez 9 może mieć tylko sumę cyfr w 9 lub 18, lub 0 w przypadku liczby zero.

  Zatem za kazdym razem odejmujemy 9 lub 18 lub 0.

• Po każdej operacji, a wiec i po setnej operacji otrzymamy wynik nieujemny.

Wypiszmy wszystkie liczby większe od zera i mniejsze od 999, których suma cyfr jest równa 9:

900
810
801
720
711
702
630
621
612
603
540
531
522
513
504
450
441
432
423
414
405
360
351
342
333
324
315
306
270
261
252
243
234
225
216
207
180
171
162
153
144
135
126
117
108
81
72
63
54
45
36
27
18
9

Nie możemy więc odejmować tylko dziewiątek, bo liczb o sumie cyfr równej 9, jest tylko 54, a mamy do odjęcia jeszcze 99 liczb począwszy od drugiej operacji. Dlatego właśnie podczas pozostałych 45 operacji, będziemy odejmować osiemnastki lub zera. Gdybyśmy nie natrafili po drodze na zero to liczba, którą byśmy w sumie odjeli od początkowej liczby trzycyfrowej byłaby większa niż 54 dziewiątki i 45 osiemnastek:

54 × 9 + 45 × 18 = 1296

999 - 1296 < 0