LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Zadanie 3
Suma trzech liczb naturalnych, będących kwadratami liczb naturalnych, jest podzielna przez 9. Uzasadnić, że wśród nich są takie dwie liczby, których różnica jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie
a, b, c - liczby naturalne
Suma a2 + b2 + c2 ma dzielić się przez 9.
Musimy uzasadnić, że wśród liczb a2, b2, c2 są takie dwie, których różnica dzieli się przez 9.
Różnica dwóch liczb dzieli się przez 9 jeśli obie te liczby dają taką samą resztę z dzielenia przez 9 , na przykład 82 - 19 dzieli się przez 9, bo liczba 82 daje resztę 1 z dzielenia przez 9 i liczba 19 daje też daje resztę 1 z dzielenia przez 9.
Niech x będzie pewną liczbą naturalną.
Jeśli liczba x daje resztę 1 z dzielenia przez 9 to x = 9×n + 1
Stąd x2 = (9×n + 1)2
Czyli:
x2 = (9×n + 1)2 = 81n2 + 18n + 1 = 9(9n2 + 2n) + 1
Podobnie będzie z pozostałymi resztami:
x2 = (9n + 2)2 = 81n2 + 36n + 4 = 9(9n2 + 4n) + 4
x2 = (9n + 3)2 = 81n2 + 54n + 9 = 9(9n2 + 6n + 1) + 0
x2 = (9n + 4)2 = 81n2 + 72n + 16 = 9(9n2 + 8n + 1) + 7
x2 = (9n + 5)2 = 81n2 + 90n + 25 = 81n2 + 90n + 18 + 7 = 9(9n2 + 10n + 2) + 7
x2 = (9n + 6)2 = 81n2 + 108n + 36 = 9(9n2 + 12n + 4) + 0
x2 = (9n + 7)2 = 81n2 + 126n + 49 = 9(9n2 + 14n + 5) + 4
x2 = (9n + 8)2 = 81n2 + 144n + 64 = 9(9n2 + 16n + 7) + 1
x2 = (9n + 0)2 = 81n2 + 0n + 02 = 9(9n2 + 0n) + 0
Podsumowując te obliczenia możemy zrobić tabelkę pokazującą reszty z dzielenia dla x i x2.
Reszta z dzielenia przez 9
| x | x2 |
| r = 1 | r = 1 |
| r = 2 | r = 4 |
| r = 3 | r = 0 |
| r = 4 | r=7 |
| r = 5 | r = 7 |
| r = 6 | r = 0 |
| r = 7 | r = 4 |
| r = 8 | r = 1 |
| r = 0 | r = 0 |
Wniosek:
Jeśli liczba naturalna jest kwadratem liczby całkowitej to jej reszta z dzielenia przez 9 może być równa: 0, 1, 4 lub 7.
Pokażę teraz, że jeśli liczby a2, b2, c2 dają różne reszty z dzielenia przez 9 to ich suma nie dzieli się przez 9.
I przypadek: dla reszt 0, 1, 4
Jeśli
a2 = 9n + 0
b2 = 9k + 1
c2 = 9l + 4
gdzie n,k,l należą do liczb całkowitych
to
a2 + b2 + c2 = 9n + 0 + 9k + 1 + 9l + 4 = 9n + 9k + 9l + 5 = 9(n + k + l) + 5
II przypadek: dla reszt 0, 1, 7
Jeśli
a2 = 9n + 0
b2 = 9k + 1
c2 = 9l + 7
gdzie n,k,l należą do liczb całkowitych
to
a2 + b2 + c2 = 9n + 0 + 9k + 1 + 9l + 7 = 9n + 9k + 9l + 8 = 9(n + k + l) + 8
III przypadek: dla reszt 0, 4, 7
Jeśli
a2 = 9n + 0
b2 = 9k + 4
c2 = 9l + 7
gdzie n,k,l należą do liczb całkowitych
to
a2 + b2 + c2 = 9n + 0 + 9k + 4 + 9l + 7 = 9n + 9k + 9l + 11 = 9(n + k + l + 1) + 2
IV przypadek: dla reszt 1, 4, 7
Jeśli
a2 = 9n + 1
b2 = 9k + 4
c2 = 9l + 7
gdzie n, k, l należą do zbioru liczb całkowitych
to
Aby suma
to suma reszt
musi się dzielic przez 9.
Mając do dyspozycji tylko reszty 0, 1, 4, 7 możemy otrzymać następujące możliwości reszt:
| Reszta z dzielenia przez 9 |
Reszta z dzielenia przez 9 |
Reszta z dzielenia przez 9 |
Reszta z dzielenia przez 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 4 | 4 | 0 |
| 4 | 1 | 4 | 0 |
| 4 | 4 | 1 | 0 |
| 4 | 7 | 7 | 0 |
| 7 | 4 | 7 | 0 |
| 7 | 7 | 4 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 7 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 7 | 0 |
Anna Bernat kl.IIa