LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2004/2005 Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum

Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które są równe podwojonemu iloczynowi swoich cyfr.

Rozwiązanie Dominika Adamowicza

Zadanie 2

Liczby naturalne od 1 do 16 zapisać w wierszu jedna za drugą, aby suma każdych dwóch liczb stojących obok siebie była kwadratem liczby naturalnej. Pokazać, że nie można tego zrobić na okręgu.

Rozwiązanie Szymona Bały

Zadanie 3

Suma trzech liczb naturalnych, będących kwadratami liczb naturalnych, jest podzielna przez 9. Udowodnić, że wśród nich są takie dwie liczby, których różnica jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie Ani Bernat

Zadanie 4

Ile jest biletów z numerami od 000001 do 999999, w których są dwie cyfry stojące obok siebie i różniące się o 5?

Rozwiązanie Agnieszki Biegun

Zadanie 5

Wyznaczyć liczby całkowite  a i b tak, by liczba  a4 + 4b4 była liczbą pierwszą.

Rozwiązanie Olka Bolesławskiego

Zadanie 6

Udowodnić, że liczba naturalna, która ma nieparzystą liczbę dzielników jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie Pawła Bredy

Zadanie 7

Wyznaczyć liczby naturalne a takie, że liczby a + 100 i a + 164 są kwadratami liczb naturalnych.

Rozwiązanie Moniki Chwiałkowskiej

Zadanie 8

Znaleźć pięć kolejnych liczb naturalnych, dla których suma kwadratów dwóch największych z nich jest równa sumie kwadratów pozostałych liczb.

Rozwiązanie Bartka Góry

Zadanie 9

Czy zapis dziesiętny kwadratu liczby naturalnej może się kończyć trzema jednakowymi cyframi różnymi od zera?

Zadanie 10

Czy istnieją liczby pierwsze p, q, r takie, że liczba  jest naturalna?

Rozwiązanie Tomka Grabca

Zadanie 11

Znajdź liczby pierwsze p, q, r takie, że p + q + r = pq + 1.

Rozwiązanie Małgosi Hapyn

Zadanie 12

Liczba naturalna a jest zapisana tylko przy pomocy samych dziewiątek w ilości 2005 Ile wynosi suma cyfr w zapisie dziesiętnym a2 i a3?

Rozwiązanie Artura Iwickiego

Zadanie 13

Rozwiązać równanie 6xy - 4x + 9y - 366 = 0 w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie Dominiki Jackowskiej

Zadanie 14

Wiadomo, że a + b + c = 7 i . Wyznaczyć .

Rozwiązanie Tomka Jankowskiego

Zadanie 15

Znaleźć najmniejsze liczby naturalne a i b, przy czym b > 1 takie, że  .

Rozwiązanie Grzegorza Jóźwiaka

Zadanie 16

Mamy 2005 różnych dodatnich liczb rzeczywistych. Wiadomo, że iloczyn dowolnych 8 z nich jest większy niż 1. Pokazać, że iloczyn wszystkich tych liczb jest większy niż 1.

Rozwiązanie Asi Karnowskiej

Zadanie 17

Niech liczby x i y będą nieujemne i nie większe niż 1. Pokazać, że

Rozwiązanie Marty Kasprzak

Zadanie 18

Uzasadnić, że jeśli abc = 1 i , to co najmniej jedna spośród liczb a, b, c jest równa 1.

Rozwiązanie Agaty Kwapisz

Zadanie 19

Czy zbiór liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 33 można podzielić na 11 grup po trzy liczby tak, by w każdej grupie jedna z liczb była równa sumie dwóch pozostałych?

Rozwiązanie Kuby Ładysza

Zadanie 20

Dwóch graczy wpisuje kolejno i na przemian, w każdą kratkę jednostkową tablicy o wymiarach 5×5 jedną z liczb naturalnych spośród 1, 2, 3, ..., 25. Każda liczba może być użyta tylko raz. Wygrywa zaczynający jeśli w którejś z kolumn lub w którymś z wierszy suma liczb jest równa 75. W przeciwnym razie wygrywa drugi uczeń. Który z graczy ma strategię wygrywającą?

Zadanie 21

Na stole leży n zapałek. Dwóch zawodników na przemian bierze pewną liczbę zapałek. Pierwszy z nich bierze nie mniej niż 1 i nie więcej niż n - 1 zapałek. W każdym kolejnym kroku biorący nie może wziąć więcej zapałek  niż wziął jego przeciwnik w poprzednim kroku i musi wziąć przynajmniej jedną zapałkę jeśli jakieś zapałki są jeszcze na stole. Wygrywa ten, kto bierze ostatnią zapałkę. Dla jakich n jeden z zawodników może zapewnić sobie wygraną?

Zadanie 22

Rozwiązać rebusy. W podpunktach (a) i (b) wszystkie cyfry są różne od zera. (a)   (b)   (c)

Zadanie 23

Na płaszczyźnie dane są dwie proste wzajemnie prostopadłe. Rozpatrzmy zbiór wszystkich odcinków o tej samej długości a i takich, że ich końce znajdują się na tych prostych tych prostych, każdy z końców na innej prostej. Otrzymujemy w ten sposób różne trójkąty prostokątne. Co jest zbiorem środków ciężkości tych trójkątów?

Zadanie 24

Dany jest trójkąt ABC. Na odcinkach AB i AC jako na średnicach zbudowano okręgi. Uzasadnić, że przecinają się one w punkcie leżącym na prostej BC.

Rozwiązanie Martyny Polak

Zadanie 25

W czworokącie ABCD mamy |ĐDAB| = |ĐABD| oraz symetralne boków AD i CD przecinają się w punkcie M leżącym na boku AB. Uzasadnić, że |AM| = |MC|.

Rozwiązanie Jana Rosy

Zadanie 26

W trapezie ABCD punkty M i N są odpowiednio środkami boków AB i CD oraz zachodzi równość |MN| = ½×(|AB| - |CD|). Wykazać, że |ĐBAD| + |ĐABC| = 90°.

Rozwiązanie Krzysia Rosy

Zadanie 27

W czworokącie wypukłym ABCD przekątne AC i BD są równej długości. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków AD i BC. Wykazać, że prosta MN tworzy równe kąty z przekątnymi AC i BD.

Rozwiązanie Stasia Rosy

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej
w roku szkolnym 2005/2006!