Zadanie 1
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które są równe podwojonemu iloczynowi swoich cyfr.
Zadanie 2
Liczby naturalne od 1 do 16 zapisać w wierszu jedna za drugą, aby suma każdych dwóch liczb stojących obok siebie była kwadratem liczby naturalnej. Pokazać, że nie można tego zrobić na okręgu.
Zadanie 3
Suma trzech liczb naturalnych, będących kwadratami liczb naturalnych, jest podzielna przez 9. Udowodnić, że wśród nich są takie dwie liczby, których różnica jest podzielna przez 9.
Zadanie 4
Ile jest biletów z numerami od 000001 do 999999, w których są dwie cyfry stojące obok siebie i różniące się o 5?
Zadanie 5
Wyznaczyć liczby całkowite $a \text{ i }b$ tak, by liczba $a^4 + 4b^4$ była liczbą pierwszą.
Zadanie 6
Udowodnić, że liczba naturalna, która ma nieparzystą liczbę dzielników jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 7
Wyznaczyć liczby naturalne $a$ takie, że liczby $a + 100 \text{ i } a + 164$ są kwadratami liczb naturalnych
Zadanie 8
Znaleźć pięć kolejnych liczb naturalnych, dla których suma kwadratów dwóch największych z nich jest równa sumie kwadratów pozostałych liczb.
Zadanie 9
Czy zapis dziesiętny kwadratu liczby naturalnej może się kończyć trzema jednakowymi cyframi różnymi od zera?
Zadanie 10
Czy istnieją liczby pierwsze $p,\; q,\; r$ takie, że liczba $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ jest naturalna?
Zadanie 11
Znajdź liczby pierwsze $p,\; q,\; r$ takie, $\text{że }p + q + r = pq + 1.$
Zadanie 12
Liczba naturalna $a$ jest zapisana tylko przy pomocy samych dziewiątek w ilości 2005:
$$a=\underbrace{999\text{...}9}_{2005\text{ cyfr}} $$
Ile wynosi suma cyfr w zapisie dziesiętnym $a^2 \text{ i } a^3?$
Zadanie 13
Rozwiązać równanie $6xy - 4x + 9y - 366 = 0$ w liczbach naturalnych.
Zadanie 14
Wiadomo, że $a+b+c=7$ $\text{i }\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\frac{1}{c+a}=\frac{7}{10}.$ $\text{Wyznaczyć }\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\frac{c}{b+a}.$
Zadanie 15
Znaleźć najmniejsze liczby naturalne $a \text{ i } b,$ przy czym $b \gt 1$ $\text{takie, że }\sqrt{a \sqrt{a\ \sqrt{a}}}=b.$
Zadanie 16
Mamy 2005 różnych dodatnich liczb rzeczywistych. Wiadomo, że iloczyn dowolnych ośmiu z nich jest większy niż 1. Pokazać, że iloczyn wszystkich tych liczb jest większy niż 1.
Zadanie 17
Niech liczby $x \text{ i } y$ będą nieujemne i nie większe niż 1. $\text{Pokazać, że }\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} \le 1.$
Zadanie 18
Uzasadnić, że jeśli $abc = 1$ $\text{i } a+b+c = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c},$ to co najmniej jedna spośród liczb $a,\; b,\; c$ jest równa 1.
Zadanie 19
Czy zbiór liczb naturalnych $\{1, 2, 3, ..., 33\}$ można podzielić na 11 grup po trzy liczby tak, by w każdej grupie jedna z liczb była równa sumie dwóch pozostałych?
Zadanie 20
Dwóch graczy wpisuje kolejno i na przemian, w każdą kratkę jednostkową tablicy o wymiarach $5\times 5$ jedną z liczb naturalnych spośród $1,\; 2,\; 3, \text{...}, 25.$ Każda liczba może być użyta tylko raz. Wygrywa zaczynający jeśli w którejś z kolumn lub w którymś z wierszy suma liczb jest równa 75. W przeciwnym razie wygrywa drugi uczeń. Który z graczy ma strategię wygrywającą?
Zadanie 21
Na stole leży $n$ zapałek. Dwóch zawodników na przemian bierze pewną liczbę zapałek. Pierwszy z nich bierze niemniej niż 1 i niewięcej niż $n - 1$ zapałek. W każdym kolejnym kroku biorący nie może wziąć więcej zapałek niż wziął jego przeciwnik w poprzednim kroku i musi wziąć przynajmniej jedną zapałkę jeśli jakieś zapałki są jeszcze na stole. Wygrywa ten, kto bierze ostatnią zapałkę. Dla jakich $n$ jeden z zawodników może zapewnić sobie wygraną?
Zadanie 22
Rozwiązać rebusy.
Uwaga. W podpunktach (a) i (b) wszystkie cyfry są różne od zera.
Uwaga. W podpunktach (a) i (b) wszystkie cyfry są różne od zera.
(a)
$\begin{array}{cccccc}
&\text{W}&\text{R}&\text{O}&\text{N}&\text{G}\\
+ &\text{W}&\text{R}&\text{O}&\text{N}&\text{G}\\
\hline
&\text{R}&\text{I}&\text{G}&\text{H}&\text{T}
\end{array}$
(b)
$\begin{array}{ccccc}
&\text{S}&\text{E}&\text{A}&\text{M}\\
&\times& & &\text{T}\\
\hline
\text{M}&\text{E}&\text{A}&\text{T}&\text{S}
\end{array}$
(c)
$\begin{array}{ccccccc}
&\text{C}&\text{U}&\text{A}&\text{T}&\text{R}&\text{O}\\
&\text{C}&\text{U}&\text{A}&\text{T}&\text{R}&\text{O}\\
&\text{C}&\text{U}&\text{A}&\text{T}&\text{R}&\text{O}\\
&\text{C}&\text{U}&\text{A}&\text{T}&\text{R}&\text{O}\\
+&\text{C}&\text{U}&\text{A}&\text{T}&\text{R}&\text{O}\\
\hline
&\text{V}&\text{E}&\text{I}&\text{N}&\text{T}&\text{E}
\end{array}$
Zadanie 23
Na płaszczyźnie dane są dwie proste wzajemnie prostopadłe. Rozpatrzmy zbiór wszystkich odcinków o tej samej długości $a$ i takich, że ich końce znajdują się na tych prostych, każdy z końców na innej prostej. Otrzymujemy w ten sposób różne trójkąty prostokątne. Co jest zbiorem środków ciężkości tych trójkątów?
Zadanie 24
Dany jest trójkąt $ABC.$ Na odcinkach $AB\text{ i } AC$ jako na średnicach zbudowano okręgi. Uzasadnić, że przecinają się one w punkcie leżącym na prostej $BC.$
Zadanie 25
W czworokącie $ABCD$ mamy $|\angle DAB| = |\angle ABD|$ oraz symetralne boków $AD\text{ i } CD$ przecinają się w punkcie $M$leżącym na boku $AB.$ Uzasadnić, że $|AM| = |MC|.$
Zadanie 26
W trapezie $ABCD$ punkty $M\text{ i } N$ są odpowiednio środkami boków $AB\text{ i } CD$ oraz zachodzi równość $|MN| = \frac{1}{2}(|AB| - |CD|).$ $\text{Wykazać, że} |\angle BAD| + |\angle ABC| = 90^{\circ}.$
Zadanie 27
W czworokącie wypukłym $ABCD$ przekątne $AC\text{ i } BD$ są równej długości. Punkty $M\text{ i } N$ są odpowiednio środkami boków $AD\text{ i } BC.$ Wykazać, że prosta $MN$ tworzy równe kąty z przekątnymi $AC\text{ i } BD.$
Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2005/2006.
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2005/2006.