LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 16

Mamy 2005 różnych dodatnich liczb rzeczywistych. Wiadomo, że iloczyn dowolnych 8 z nich jest większy niż 1. Pokazać, że iloczyn wszystkich tych liczb jest większy od 1.

Rozwiązanie:

Jak wiadomo 2005 = 250 × 8 + 5.

Z tego, że iloczyn dowolnych 8 liczb jest większy od 1 możemy wywnioskować, że:
  1. Iloczyn 2000 liczb jest większy od 1,
    bo jest to także iloczyn 250 liczb, z których każda jest iloczynem 8 liczb.
  2. W każdej ósemce liczb jest przynajmniej jedna liczba większa od 1,
    bo w przeciwnym razie iloczyn ośmiu liczb byłby mniejszy od 1.
  3. Jest przynajmniej 250 liczb większych od 1.

MY MAMY POKAZAĆ, ŻE ILOCZYN 2005 LICZB JEST WIĘKSZYCH OD 1.

Iloczyn 2005 liczb możemy przedstawić jako iloczyn 2000 liczb (połączonych w nawiasy po 8) i pięciu liczb większych od 1 (mamy dużo większy zapas takich liczb).

ILOCZYN 2005 LICZB =

= (ILOCZYN 8 LICZB) × (ILOCZYN 8 LICZB) × . . . × (ILOCZYN 8 LICZB) ×

× (ILOCZYN 5 LICZB WIĘKSZYCH OD 1)

Wtedy wszystkie iloczyny są większe od czyli całość jest też większa niż 1.

Joanna Karnowska