Liczba naturalna a jest zapisana tylko przy pomocy samych dziewiątek w ilości 2005

Ile wynosi suma cyfr w zapisie dziesiętnym a² i a³?

Liczbę a możemy zapisać inaczej jako

a = 10²⁰⁰⁵ - 1.

Przy takim zapisie łatwo wyliczyć, że:

a² = (10²⁰⁰⁵ - 1 )² = 10⁴⁰¹⁰ - 2 × 10²⁰⁰⁵ + 1

a³ = (10²⁰⁰⁵ - 1 )³ = 10⁶⁰¹⁵ - 3 × 10⁴⁰¹⁰ + 3 × 10²⁰⁰⁵ - 1

Teraz wystarczy preprowadzić odejmowanie i zsumować cyfry.

S(a²) = 9 × 2004 + 8 + 1 = 9 × 2005

S(a³) = 9 × 2004 + 7 + 2 + 9 × 2005 = 9 × 4010

Suma cyfra liczby a² wynosi 9 × 2005
a suma cyfra liczby a³ jest równa 9 × 4010.

Artur Iwicki