LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 19

Czy zbiór liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 33 można podzielić na 11 grup po trzy liczby tak, by w każdej grupie jedna z liczb była równa sumie dwóch pozostałych?

Rozwiązanie

Przypuścmy, że jest to możliwe i liczby od 1 do 33 zostały rozbite na następuące grupy:

Grupa 1:   {a1,b1,c1} gdzie c1=a1+b1
Grupa 2:   {a2,b2,c2} gdzie c2=a2+b2
...
...
...
Grupa 11: {a11,b11,c11} gdzie c11=a11+b11


(1) Możemy teraz te wszystkie liczby dodać:

   1 + 2 + 3 + ... + 33 =

= (a1 + a2 + ... + a11) + (b1 + b2 + ...+ b11)+ (c1 + c2 + ... + c11) =

= (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + ... + (a11 + b11 ) + (c1 + c2 + ... + c11) =

= (c1 + c2 + ... + c11) + (c1 + c2 + ... + c11)

= 2×(c1 + c2 + ... + c11)

Wynik ten jest liczba parzystą (gdyż całkowitą wielokrotnoscią liczby 2).

(2) Z drugiej strony sumę liczb 1 + 2 + 3 + ... + 33 możemy wyliczyć konkretnie:

Niech:

   S = 1 + 2 + 3 + ... + 30 + 31 + 32 + 33
 + S = 33 + 32 + 31 + ... + 30 + 3 + 2 + 1
 + 2S = 34 + 34 + 34 + ... + 34 + 34 + 34 +34

Stąd:

2S = 33 × 34

S =

S = 33 × 17

Wynikiem S tego mnożenia będzie liczba nieparzysta, ponieważ jeżeli czynniki są nieparzyste to wynik mnożenia też jest nieparzysty.

Podsumowanie

(1)  1 + 2 + ... + 33 = 2×(c1 + c2 + ... + c11) liczba parzysta
(2)  1 + 2 + ... + 33 = 33 × 17 liczba nieparzysta

Otrzymaliśmy, że ta sama suma jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.
To jest niemożliwe.

Kuba Ładysz