LIGA WAKACYJNA

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
PREZENT WAKACYJNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

ZADANIE 24

Dany jest trójkąt ABC. Na odcinkach AB i AC jako na średnicach zbudowano okręgi. Uzasadnić, że przecinają się one w punkcie leżącym na prostej BC.

ROZWIĄZANIE

Na początku rysuję przykładowy trójkąt ABC, ten sam, dwa razy.
Na pierwszym rysunku rysuję okrąg zbudowany na boku AB, na drugim jako rysuję okrąg zbudowany na boku AC.

Rysunek 1 Rysunek 2

Jeśli D jest punktem przecięcia się pierwszego okręgu z prostą BC, to kąt ADB jest kątem wpisanym w ten okrąg i opartym na jego średnicy.
Zatem kąt ADB musi być prosty. Jeśli E jest punktem przecięcia się drugiego okręgu z prostą BC, to kąt AEC jest kątem wpisanym w ten okrąg i opartym na jego średnicy.
Zatem kąt AEC musi być prosty.

Wniosek:
Punkt D leży na prostej BC i odcinek AD jest prostopadły do prostej BC.
Wniosek:
Punkt E leży na prostej BC i odcinek AE jest prostopadły do prostej BC.

Ale jak wiadomo, z punktu A można poprowadzić tylko jeden odcinek prostopadły do prostej BC. Wynika stąd, że punkty D i E muszą być tymi samymi punktami, tzn.
D = E.

Martyna Polak

Rysunek 1	Rysunek 2

Jeśli D jest punktem przecięcia się pierwszego okręgu z prostą BC, to kąt ADB jest kątem wpisanym w ten okrąg i opartym na jego średnicy. Zatem kąt ADB musi być prosty.	Jeśli E jest punktem przecięcia się drugiego okręgu z prostą BC, to kąt AEC jest kątem wpisanym w ten okrąg i opartym na jego średnicy. Zatem kąt AEC musi być prosty.

Wniosek: Punkt D leży na prostej BC i odcinek AD jest prostopadły do prostej BC.	Wniosek: Punkt E leży na prostej BC i odcinek AE jest prostopadły do prostej BC.
Ale jak wiadomo, z punktu A można poprowadzić tylko jeden odcinek prostopadły do prostej BC. Wynika stąd, że punkty D i E muszą być tymi samymi punktami, tzn. D = E.